番外2

构造（二）：不可达基数

不可达基数（是强弱不可达基数的统称。如果K是不可数的、正则的极限基数，则称是弱不可达基数。如果是不可数的、正则的强极限基数，则称K是强不可达基数。这两类大基数合称不可达基数（或不可到达基数）。

不可达基数是强弱不可达基数的统称。如果k是不可数的、正则的极限基数，则称k是弱不可达基数；如果k是不可数的、正则的强极限基数，则称k是强不可达基数。这两类大基数合称不可达基数（或不可到达基数），也有文献只把强不可达基数称为不可达基数。不可达基数的概念是波兰数学家谢尔品斯基( Sierpiski , W .）和波兰学者塔尔斯基( Tarski , A .）于1930年引入的。由于任何基数入的后继基数入＋不超过入的幂2入，所以每个强不可达基数必为弱不可达基数；又由于在广义连续统假设GCH之下，入＋=2入，所以在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数。之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来"到达"它们。事实上，若k是强不可达基数，又集合X的基数I Xl＜k ，则幂集P ( X ）的基数也小于k ;又若IS＜K ，且对每个XES , IX|＜k ,则|US＜K 。这就是说，由小于k的基数，无论进行何种运算，总达不到K 。可数无穷基数NO也具有上述两条性质，因此，也可以说在有限基数的范围内，用除去无穷公理之外的任何集论运算， NO也是"不可到达"的。这就清楚地看出，不可达基数确实是无穷基数0的一种自然推广。"存在不可达基数"已不是ZFC系统的定理。若想肯定这一事实，只有引入大基数公理。事实上，若k是强不可达基数，则直到k层的集Vk就是ZFC系统的模型。这样，若存在强不可达基数，则ZFC系统便相容。但不可能在ZFC系统中证明ZFC系统的相容性，于是推知："存在不可达基数"不是ZFC系统的定理。

弱不可达基数

弱不可达基数是一种正则基数。既是极限基数又是正则基数的不可数基数。若Na为弱不可达基数，则cf ( a )=a ，且a是极限序数。因为cf ( Na )≤Na , Naza ，所以Na=a 。可见Na是非常大的。由定义还可看出，不可达基数k不可能由比它小的基数通过基数的加法、乘法、乘幂和取极限等运算得到。豪斯多夫( Hausdorff , F .）在1908年提出了弱不可达基数的概念。现已知道弱不可达基数的存在性在ZFC系统中是不可证的。

强不可达基数强不可达基数是一种正则基数。简称不可达基数。既是正则的又是强极限的无穷基数。即如果正则基数k满足k＞N0，且对任何入＜k有2入＜k , k就是一个强不可达基数。强不可达基数一定是弱不可达的。在广义连续统假设成立时，每个弱不可达基数也是强不可达的。这时这两个概念是相同的。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性。称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，使用通常的集合论运算得到。

正则基数

正则基数是一种特殊基数。如果a为极限序数，且cf ( a )=a ，则称a为正则的。正则的基数称为正则基数。不正则的无穷基数称为奇异基数。由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。通常也有人将w称为正则基数，将Na+1称为正则序数。正则性是基数的重要概念之一，它由德国数学家豪斯多夫

( Hausdorff , F .）于1908年引入。关于正则基数的性质曾引申出许多重要的集合论命题，其中最重要的问题是：是否能在ZF系统中证明存在大于w的正则基数？一方面，由选择公理知，N1,N2,..., Na+1都是大于w的正则基数。另一方面，以色列集合论学家吉帖克（ Gitik , M .)于1979年在假定存在某种大基数真类的情况下，证明了不存在大于w的正则基数，也是和ZF系统相容的。基数，亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔（ Cantor , G .( F . P .)）之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势，记为x ', x为一集合。并且他定义，若集合A与集合B之间可建立一一对应关系，则称A与B等势，记为A≈B 。然而康托尔对势没有作非常严格的定义，而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念．德国数学家、数理逻辑学家弗雷格（ Frege ,( F . L .) G .）与英国数理逻辑学家罗素（ Russell , B . A . W .）将集合的基数（势）定义为在等势关系下该集合所在的等价类．这一定义虽然比较严格，但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数．在ZF公理集合论中，按如下方法定义集合x的基数|x ]:[3]1．若x是可良序化的，则定义|x|为最小的与x等势的序数。2.若不然，则定义|xl为与x等势的真类中所有具有最小秩的元素的全体所组成的集合。如果某个集合的基数是a ，则如此定义的基数满足|x|=|yl ，当且仅当x≈y ．定义1是由美籍匈牙利数学家冯．诺伊曼（ vonNeumann , J .）于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版。如果存在从集合x到y的单射，则定义|x|s|y|。如果|x|≤|y|且|yl≤|x|，则|x|=|y|。这就是著名的康托尔﹣伯恩施坦定理。对于任意的集合x和y ，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，当且仅当选择公理成立。可良序化的集合的基数称为良序基数。每一个良序基数都是序数。因此，若设定某一选择公理，则每一个基数都是序数。对任意的序数a ，存在大于a的最小良序基数，记为a 。由此可见，所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类，即为真类。因此，可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得Va＜B (( a )＜( B ))，式中读做"阿列夫"。还常用a代替（ a )，表示第a个无穷良序基数，用wa表示Na的序型，故N0=w0=w , Na+1=wa+1=Na 。若a为极限序数，则Na=wa=sup ( wplpEa }。 Na是极限基数，当且仅当a是极限序数。

马洛基数

又称马赫罗基数

对于所有K ，正则基数3的初始段（即B以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。

也就是一个马洛基数k之下的不可达基数组成驻集，小于k的所有正则基数集合是k的驻子集，则k为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k ，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集。

取驻集族为（ a (0,1）都存在一个k个元素的子集使f在这个集上的值相同。