此章是证明“终极万有宇宙”是逻辑多元的基本构造，全都是数学符号，但是不是水字数，因为我写的是论战小说，这些都是论战小说里的因素。
小超越基数： 第ω个大基数, 假设每套大基数都需要一套公理来证明的话, 小超越基数需要ω套公理,
中超越基数：:将第n个大基数记为T[n], 则中超越基数是满足 T[α]=α的最小值.
大超越基数：将T记号像φ函数, ψ函数, 甚至Stegert/Rathgen的Psi函数一样扩展, 甚至再带上TON...... 如果说小超越基数相当于ω, 中超越基数相当于φ(1,0), 则大超越基数相当于ω1CK
极超越基数：将"小超越基数相当于ω, 中超越基数相当于φ(1,0), 则大超越基数相当于ω1CK看作是"映射", 则将大超越基数映射一次, 就是Ω 也就是第一不可序列数
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可构造宇宙V=L：
定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X使得x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]
然后：
L₀=∅
L₁=Def(L1)={∅}=1
Ln+1=Def(Ln)=n
Lω=∪＿k＜ω Lω
Lλ=∪＿k＜λ λ is a limit ordinal
ג是极限序数
L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数
遗传序数可定义宇宙HODs：
HOD⁰=V
HODⁿ⁺¹=HODᴴᴼᴰ^ⁿ
HOD^ω=∩＿n＜ω HODⁿ
H⁰=V
H^α+1=HODᴴ^ᵃ
HOD^η=∩α＜η HOD^α
对所有HODs的脱殊扩张
gHOD=∩HOD^V[G]
或许还有：
序数宇宙V=ON
良序宇宙V=WO
良基宇宙V=WF
于是可能：
V=L=ON=WO=WF=HOD=Ord=终极L=…………
脱殊扩张V(V[G])：脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。P-name宇宙V
令P为一个拥有
rank ( P ) = r＞ω假设P-names 通过一个flat pairing function 来构造。那么对于任意的V上的G⊆P-generic 以及对于任意的a≥r×w有V[G]ₐ=Vₐ[G]
令f为一个固定的的flatpairing function ;再递归地构造一个宇宙：
V₀ᴾ=∅
Vλᴾ=∪＿α＜ג Vαᴾ
Vα+1ᴾ=P(Vαᴾ×P)
Vᴾ=∪＿α∈Ord Vαᴾ
宇宙V=终极L：
V=终极L的前置条件：
一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。
一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。
一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
V=终极-L是一个多元一阶算术集合论。存在V=终极-L的有限公理化。
存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。
对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , ADλ 成立。
伊卡洛斯基数之下的每一个 ≥I0 基数的真类初等嵌入具有三歧性。
如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的 ω− 序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。
见证普遍分区公理成立。
见证强普遍分区公理成立。
终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。
V=终极L的直接推论：
见证最大基数伊卡洛斯的存在性。
见证真类多的武丁基数
终极L是最大的内模型。
见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。
拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）
见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言见证 Ω 猜想成立
见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。
见证ZF+Reinhardt不一致。
存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .
V是最小的脱殊复宇宙。
见证广义连续统假设成立，并且 ω₁ 上有一个均匀预饱和理想。
见证正常力迫公理成立。
存在包含武丁基数的真类。进一步地，对于每一个rank-existential 语句φ若φ在V中成立那么存在一个universally Baire 集AR使得有
HODᴸᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾∩V＿Θ⊨φ
其中Θ=Θᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾(A, R) . (V=终极L)
复宇宙：
假没M是一个由ZFC模型组成的非空类：我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足：
⑴可数化公理
⑵伪良基公理
⑶可实现公理
⑷力迫扩张公理
⑸嵌入回溯公理
对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论宇宙。
对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P,存在一个力迫扩张V[G]其中G⊆P为V-generico
对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V≾Wθ≺W
对于每一个集合论宇宙V,从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。
从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的
简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。
在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。
脱殊复宇宙：
令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类：
⒈V∈Vᴍ
⒉如果N∈Vᴍ，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ⒊如果N∈Vᴍ，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ
简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。
如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。
也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。
复复宇宙：
存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M,存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙
于是我们可以继续，得到复复复宇宙等……逻辑多元：
V-逻辑(V-logic)
V-逻辑具有以下的常元符号：
a¯ 表示V的每一个集合a
V¯ 表示宇宙全体集合容器V
在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：
∀b,b∈a,ψ(b¯)⊢∀x∈a¯,ψ(x)
∀a,b∈V,ψ(a¯)⊢∀x∈V¯,ψ(x)
作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 a
¯ 和表示V本身的常元符号 V¯ ，而且还有一个常元符号 W¯ 来表示V的 "外模型
我们增加以下新公理。
1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。
2. W¯ 是ZFC的一个传递模型，包含 V¯ 作为子集，并且与V有相同的序数。
因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中 V¯ 被正确地解释为V， W¯ 被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=Lα(V) 内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。
最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：
假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“ W¯ 满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。
最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。
在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。
通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元
V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。
以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东西……
——————————————————————————附：一阶实无穷
又称作者马甲基数/伪作者基数
将目前所有的“理论”塞进一个更加强大的“集合”，然后进行二次套娃，也就是连套两次，最终会有一个无法到达的终点，这就是一阶实无穷，一般用K表示(或W)
仿照超越基数
YS(ω)=小超越,
YS(ε0)=中超越,
YS(ω₁ᶜᵏ)=大超越,
YS(Ω)=极超越,
令YS(α)=α, 这个α就是映射不动点.
像这样的扩展一直进行到ω₁ᶜᵏ，称为Y_1CK
Y_1, 第一个映射基数
……
用扩展的极限为T_2, 二阶小超越
……
这样扩展扩展再扩展的极限……
Ys(K)甚至还可以等同于扩展扩展再扩展的极限……(K)
阿列夫数：阿列夫数是一连串用来表示无限集合的势(大小)的数,其标记符号为希伯来字母ℵ(aleph)。中文名 阿列夫数 外文名 Aleph number 解释 用来表示无限集合的势的数 所属学科 数学自然数的势标记为ℵ0,下一个较大的势为ℵ1,再下一个势ℵ2,以此类推。一直继续下来,便可以对任一序数α 定义一个基数,下面将会详细说明。 这一概念来自于格奥尔格·康托尔,他定义了势并了解无限集合是可以有不同的势的。 阿列夫数和一般在代数与微积分中出现的无限 (∞) 不同。阿列夫数会量测集合的大小,而无限只是定义成实数线上的最大的极限或扩展的实数轴上的端点。当某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数时,无限只是无限而已。
从阿列夫1到阿列夫无限
定义一个集合
其中包含所有自然数{1,2,3,4,5,6,7……}
是我们得到自然数集N
很明显，N是无穷大的，因为给定一个自然数n，必然有n⁺(也就是后面的一个数)
将自然数集化为序数，我们就得到了
ω
ω就是自然数集的序型，也是最小的无穷
ω为什么不是自然数，一个集合不可能∈自己本身吧？所以1+ω=ω，摆脱了困境……
极限序数中没有交换律！
不过因为ω是序数，所以必然存在下一个后续数，于是我们得到了ω⁺，也就是ω+1
路都又开始了……
ω+2，ω+3……ω+ω
ω×3，ω×4……ω×ω
ω^3，ω^5……ω^ω
ω^ω^ω……
（↑之类前的大数表示法之前专栏基本有些限大数说，这边就不用多说了……）
现在普通的科学记数法不够用，我们也达到了极限，后面还有路吗？
我们把以上所有ω的集合记作： ε₀
于是 ε₀ =sup{ω,ω^ω,ω^ω^ω,…}
这里有个很奇怪的特性，ω^ε₀=ε₀
把ε0比作α，那么α=α^ω
很离谱吗？
其实很好理解，因为ε₀就是ω个ω相乘方
也就是ω↑↑ω
ω↑↑ω^ω=ω↑↑1+ω=ω↑↑ω
于是我们把ε₀称作ω的不动点！
ε0也就是第一个ω不动点
问题来了，竟然是不动点了，那么后面该怎么进行？
ω↑↑(εₙ+1)=εₙ₊₁没错，只要加个1，不能打破这个不动点
因为此时互相乘方的ω变成了ω+1个
而不是变成1+ω，不会卡不动点！
由此可以推出更好的不动点序数：
ζ₀=εεεεεεεεεε……₀ 一共ω个ε
η₀=ζζζζζζζζζζ……₀ 一共ω个ζ
……
这样列举太慢了！
于是出现了一个函数：φ(#)
其中：
φ₀(n)=ω^n
φₙ(0)=φₙ₋₁(φₙ₋₁(φₙ₋₁(φₙ₋₁(……)))) ω个括号
于是我们可以直接枚举出一些不动点序数
φ₀(0)=ω
φ₁(0)=ε₀
φ₂(0)=ζ₀
φ₃(0)=η₀
一直φω(0)
不行，一元φ函数还是太弱了，于是，我们要扩展出多元φ函数
将外面的下标收入括号里(打字简单点了)
然后第定义：φ(n,0,0)是对φ的不动点扩展……
于是我们得到了Γ₀，也就是φ(1,0,0)
为φ(n,n)的不动点
=φ₀(φ₀(φ₀(φ₀(φ₀……))) ω个φ
φ(1,0,n)=Γₙ
φ(1,1,0)=ΓΓΓΓΓΓΓ……₀
……
@：
表示一个数在φ中的位置
如果只有一个，默认后面为0
比如：
φ(1@4)=φ(1,0,0,0)
φ(1,0,0,0)也就是阿克曼序数
φ(1@ω)就是小维布伦序数(LVO)
下面的突破又遇到了困难
于是要定义一种新的函数……
令 ω 为第一个超限序数， Ω 为第一个不可数序数(注意不是绝对无穷)
C0(α)={0,1,ω,Ω}
Cn+1(α)={γ+δ,γδ,γδ,ψ(η)|γ,δ,η∈Cn(α);η＜α}
C(α)=⋃n＜ωCn(α)ψ(α)=min{β＜Ω|β∉C(α)}这意味着， ψ(α) 是小于 Ω 的最小序数，且无法利用 C0(α) 通过加法，乘法，幂集运算来
ψ(n)=εₙ
ψ(ζ₀+n)=ζ₀
……
ψ(Ω)=ζ₀
ψ(Ω+n)=εζ₀+1=ζ₀
……
ψ(Ω+ζ₁)=εζ₀+ζ₁=ζ₁
……
ψ(Ω2+n)=ζ₁
……
ψ(Ωη₀)=η₀
……
后面也是同质性的，好像根本没有增长……
ψ(Ω²)=ψ（Ω^ψ(Ω)）
所以
ψ(Ω²2)=η₁
ψ(Ω²n)=ηₙ₋₁
ψ（Ω³)=φ₄(0)
ψ(Ωⁿ)=φₙ₊₁（0）
ψ(Ω^Ω)=Γ₀
ψ(Ω^Ω n)=Γₙ₋₁
ψ（Ω^Ω+1）=φ（1,1,0）
ψ（Ω^Ωn）=φ(n,0,0)
ψ(Ω^Ω^n)=φ(1@n+1)（n+1个0）φ(Ω^Ω^ω)=φ（1@ω）
大维布伦序数(SVO)：ψ(Ω^Ω^Ω)
=
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巴克曼 - 霍华德序数(BHO)：
ψ(εΩ+1)
过了这个阶段，我们还可以定义出新的ψ函数，以及新的序数比如BO=ψ(Ω_ω)，TFB=ψ(ψ_ω(0))……太慢，递归函数的增长太慢了……
来定一些有趣的数……
一个无限象棋，在无限象棋中，一个位置的游戏值（白色格）是由递归定义的。值为 0 的位置正是 white 已经赢的位置。如果一个位置 p 是白色的格子，那么当且仅当 α 是最小值时，当且仅当 α 可以合法地从 p移动到值为 α 的位置，那么 p 的值就是 α+1 。如果一个位置 p 为黑格，其中黑格有从 p开始的合法移动，而黑格从 p 开始的每一个移动都有一个值，那么 p 的值就是这些值的上确界。
ω₁ᶜʰ：无限象棋中白棋在有限个位置获胜的博弈值的上确值
ω₁ᶜʰ ᶜ：无限象棋中白棋在可计算个位置获胜的博弈值的上确界。
ω₁ᶜʰ~ ：无限象棋中白棋在无限个位置获胜的博弈值的上确界。
现在只计算一下它们的值(不考虑无限的情况下)
很明显很难估算出来吧……
ω₁ᶜᵏ：也就是邱奇 - 克林序数，
是可计算序数的上确界。一个序数 α 是可计算的当且仅当
其序型存在一个位于 N 上的可计算关系 ◃ 。即： ⟨α,＜⟩≅⟨N,⊲⟩
于是我们可以写：
ω₁ᶜᵏ=所有递归序数的集合
ω₂ᶜᵏ=ω₁ᶜᵏ放入任何递归运算的集合总和
……
再次引入φ(#)
φ(0,n)ᶜᵏ=ωₙᶜᵏ
剩下的也知道了……
我们可以写出φ(ω@ω)ᶜᵏ这样的序数……
写到这，不免有些空虚
想到这些序数都只是用来排序用的，实际上，根本没有大小(势)，就算是无限，也感到没什么意义了……
ℵ₀
ℵ₀是最小的超限基数阿列夫零使也是阿列夫数中第一个也是最小的一个阿列夫数
与超限序数不同，阿列夫数是一系列的超限基数：用于衡量一个集合大小
所有的可数无限集合都与 ℵ0 等势。 ω 可作为 ℵ0 的第一个初序：
ℵ₀=card{ω,……ε₀……ζ₀……η₀……Γ₀…………}
P(ℵ₀)= ℵ₁
ℵ₀与ℵ₁中间没有别的基数
这叫连续统假设(CH)
P( ℵₙ)= ℵₙ₊₁
这叫广义连续统假设(GCH)
在ZFC公理系统中，它不可证明真，也不可证明假(但是如果V=终极L，(广义)连续统假设成立)
如果连续统假设不为真
我们也可以推出：
ℵₙ=∩{x∈On:|ℵₙ₋₁|＜|x|}
ℵα=∪ₓ∈ₐ ℵₓ，其中α是一个极限序数
ℵ₁是全体实数的集合，也就是直线(数轴)上所有点的集合
ℵ₃是三纬中所有立体图形(以及曲线)的集合！(所有曲线的泛函)
ℵω={ℵ₀,ℵ₁,ℵ₂,……}相当于把ω中的元素一一对应成ℵ数
这也是：cf(ℵω)≠ℵω的原因(不是正则基数)cf是取最短长度……
贝斯数ℶ：
ℶ0= ℵ₀
ℶα+1=2^ ℵα
ℶλ=sup＿α＜λ ℶα
其中λ 为一个极限序数。
如果广义连续统假设成立，
则 ℶn= ℵn……
第一章 完
冯.诺依曼宇宙：起初，无穷公理断言了 V 中存在下列冯诺依曼序数:
{} ：被当做 0，因为没有东西∈{}
{{}}：被当做1，因为只有0∈{0}，1也仅大于0
{{}，{{}}}：被当做2，因为只有0,1∈{0,1}，2也仅大于0和1
{{}，{{}}，{{},{{}}}}：被当做3，因为只有0,1,2∈{0,1,2}，3也仅大于0和1和2
可以看出，被称作冯诺依曼序数的集合，是在以∈关系模拟数字之间的＜关系，n+1就是简单的把n的元素和n一起放到一个集合里。这样一来自然数集就天然的成为了一个无限序数ω，ω+1也能很自然的得到——怎么得到？
有了 0,1,2,3,……,ω 之后，V 中的东西都可以通过五种简单操作/构造得到
零、外延公理：对任意x和y，x=y 的情况是指 x 和 y 互为子集，即 x 的元素都是 y 的元素，并且 y 的元素都是 x 的元素。也就是说，{1,1}={1}，表达了任何对象都是唯一的。
一、对集公理：任取x和y，都会存在 {x,y}。这里需要注意的是，{x,y}={y,x}，这里x和y是没有先后次序，而我们想要x和y次序区别可以这样做，{x,{y}} 和 {{x},y} 就是两种集合。由对集公理，若所取的x,z相等，则可得{x,z}={x}，这样对于存在 {x}和y，就可以再由对集公理得到 {{x},y}，这样的集合也被称作有序对，记作 ＜x,y＞。而由有序对构成的集合就是 V 中的‘函数’，因为 f(x)=y 这件事可以用 ＜x,y＞ 表示，简单明了。其中 x 构成的集合被称为 f 的定义域，y 构成的集合被称作 f 的值域。
二、并集公理：对任意x，都存在y，使得对于每个z∈x，z的元素都是y的元素，y就是由x的元素的元素构成的集合，记作∪x=y。初学者容易搞错的一点是，{1,2}包含了1，1又包含了0，但0并不是{1,2}的元素。比如 {אn：n∈ω}这个由阿列夫n构成的集合只含有ω个元素，只有通过并集公理，你才可以得到里面的阿列夫n含有的不可数个序数构成的集合。
三、幂集公理：对任意x，都存在y，使得对任意z，若 z 的元素都是 x 的元素，则 z∈y。
四、选择公理：对任意x，x≠{}并且{}∉x 蕴含存在 f，使得对任意y∈x，都存在＜y,z＞，＜y,z＞∈f 并且 z∈y。它直观的表达出这样一件事：对任意x中的元素y，你都能将y中的一个元素挑出来，哪怕x是无穷集。
而其更加直观的含义是：每个集合都有基数。在这个前提下下面一条就会变得通用
五：对任意序数a，a个集合都能构成一个集合。属于是爆杀了对集公理。
五代替不了幂集公理，因为得不到下一个无穷基数。也代替不了并集公理，在你刚得到 {אn：n∈ω} 的情况下，任意序数都会被一个足够大的阿列夫n大于，现存的所有序数都在阿列夫ω中，你要得到它就需要用阿列夫ω本身，并集公理却可以让你根据 {אn：n∈ω} 就能得到阿列夫ω。
以 0,1,2,3,……,ω 为起点，V 中的所有集合都可以根据这4条原则揭示出来。
集合论宇宙就是这么简单。
集台论宇宙:
所有宇宙模型的集合体，所有集合论的总合，是不会不包括除自身及脱殊级宇宙的，但是任何的基数模型与集合论都是在集合论宇宙之中。(或前)
格罗滕迪克宇宙
让我们把格罗滕迪克宇宙的定义说清楚吧。
ZFC宇宙v的子类u是格罗登迪克宇宙:
1 .如果x∈u，y∈x，则y∈u (关于∈的推移性)
2 .如果x，y∈U，则{x，y}∈U (关于配对的结构是闭合的)
3 .如果x∈U，则Pow(x )∈u (关于幂集合是闭的)
4.I∈U，f:I→U，则∪(f )∈U (关于族的合并是封闭的)
5.U∈V (V的元素)
6.ω∈U (具有无穷集)∪(f )是⋃i∈If(i )的缩写。
ω是整个自然数的集合。
如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。
但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。
low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。
空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子)。传递模型宇宙公理
这传递模型宇宙公理断言每个集合都是的传递模型的元素ZFC。这个公理使一个 比更强的声明费夫曼 理论，因为它被断言为单个一阶索赔，但弱于宇宙公理，声称宇宙有这样的形式V为难以接近的红衣主教K.
传递模型宇宙公理有时在 非的背景理论ZFC，而是的ZFC山口，省略了幂集公理，以及断言 每个集合都是可数的。这样的企业相当于采用后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是 作为背景元理论来研究多元宇宙透视，调查各种实际的集合论宇宙，完整的传递模型ZFC，涉及一个另一个。
每个型号的ZFC包含的模型ZFC作为一个元素
每个型号M关于ZFC有一个元素N，它认为 集合论语言中的一阶结构 的模型ZFC从外部看M。这一点在 的情况下M是一个w-型号关于ZFC，因为在这种情况下M同意ZFC是 一致，因此可以建立一个亨金模型ZFC。在···里 剩下的一个案例，M有非标准的自然数。由反射定理应用于M，我们知道En的片段ZFC在模型中是正确的VM，对于每一个标准的自然 数字n。因为M无法确定其标准切割，因此肯定有一些不标准n为了什么M有些人认为VM满足(非标准)En的片段ZFC。因为n是非标准的，这包括完整的标准的理论ZFC，根据需要。
传递模型宇宙公理是断言每组都是ZFC。这个公理比费弗曼理论提出了更强有力的主张，因为它被断言为单一的一阶主张，但比宇宙公理更弱，宇宙公理断言宇宙有形式Vk对于无法接触到的cardinalкк。
传递模型宇宙公理有时在背景理论中研究，而不是ZFC，但对于ZFC-P，省略了幂集公理，以及断言每个集都是可数的公理。这种事业相当于采用后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是作为研究多元宇宙视角的背景元理论，调查各种实际集理论宇宙、完整的及物模型ZFC，彼此相关。
每个型号ZFC包含一个模型ZFC作为一个元素
每个模型M的ZFC有一个元素N，它认为这是集合理论语言中的一阶结构，是集合理论的模型ZFC，从外部看M。这在以下情况下是显而易见的M是一个ω-模型ZFC，因为在这种情况下M同意ZFCZFC是一致的，因此可以构建一个亨金模型ZFC。在其余情况下，M有非标准自然数。通过反射定理应用于M，我们知道∑n碎片ZFC在表单模型中是正确的VMβVβM，对于每个标准自然数n。自从M无法确定其标准切割，因此必须有一些非标准切割nn为了哪个M认为一些VMβVβM满足(非标准)∑n碎片ZFC。自从n是非标准，这包括完整的标准理论ZFC，根据需要。
前一段中提到的事实偶尔会被一些初创理论家发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与这样一个事实相矛盾,即可能存在模型ZFC+-Con(ZFC)ZFC+-Con(ZFC)。然而,通过意识到尽管模型N里面M实际上是一个完整的模型ZFC，模型M无需同意这是ZFC，如果M具有非标准自然数，因此非标准长度公理ZFC。
数不清的及物模型
回想一下,Löwenheim-Skolem定理和Mostowski崩溃引理表明,如果ZFC有一个传递模型(或其他集合理论)，那么就有一个可数的此类模型。这意味着LL每个不可数的传递模型都是ZFC+的模型V=LV=L+ZFC+有一个可数的传递模型V=LV=L?这个理论中有一些可数的传递模型，它们必须比最小模型具有更高的高度。同样，也有理论的传递模型，断言不同高度的可数可数传递模型,直到ω1ω1(其意义取决于模型:一般来说ωM11≠ωM21ω1M1≠ω1M2)。此外,还有及物理论模型断言有ααZFC+的可数传递模型有ω1不同高度的ZFC可数传递模型?不同高度?等。因此，如果有一个不可数的传递模型，那么真的很多(在等建议的非正式含义中)可数传递模型，它们在ω1ω1(否则他们不可能有ω1ω1不同的高度)。
假设在VV我们有一个基数高度的及物模型KK。我们可以把每个数不清的继任者变成红衣主教λ+≤κλ+≤κ进入ω1ω1通过强迫(在V[G]V[G])。在V[G]V[G],及物模型不受限制ωV[G]1ω1V[G](=(λ+)V≤k=(λ+)V≤k)。传递模型的可构造宇宙(Lht(M) Lht(M))是ZFC+的型号V=LV=L它是L哪个很常见V和V[G]V[G]。所以ZFC+的型号V=LV=L无限(λ+)V(λ+)V英寸V。他们中的一些人具有高度的基数λλ他们很多。因此，如果有基数高度的传递模型KK，然后有非常多所有基数高度的及物模型λ＜κλ＜κ。
特别是，ZFC模型(和ZFC+ZFC模型是无界的等)在Vk为了世俗K，就像在Vk无法访问K有世俗、世俗、超世俗等cardinal。
也可以制作只包含有限集合的预宇宙。
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