何炅电视机前的观众朋友们大家好！
撒贝宁欢迎收看：男生女生请就位！
何炅今天这期节目，我们将和嘉宾们一起探索匀变速直线运动的速度，时间，位移关系的奥秘！
所有嘉宾好耶！
观众们啊啊啊啊啊啊啊啊啊！
撒贝宁在之前的节目中，我们浅浅提了一下匀加速直线运动。而匀加速直线运动是匀变速直线运动的一种。今天我们要来聊一聊匀变速运动中存在的普遍规律。请嘉宾们思考：你能通过“匀变速直线运动”这个词语，推测匀变速直线运动具有哪些特点呢？
鞠婧祎我觉得“匀变速”这个词，应该意味着这种运动的速度是随时间均匀变化的，也就是加速度的大小和方向都不变。
何炅鞠婧祎同学分析的很正确。最关键的一点是，她注意到了加速度是一个矢量，矢量是有方向的。
所有嘉宾酷！
观众们酷！
撒贝宁我们可以以匀加速直线运动为例，作出匀变速直线运动的其中一种图像。
宋雨琦在这张图片中，一条倾斜的直线代表速度随时间均匀变化，我们也可以将这种变化称为线性变化。并且，直线起点的纵坐标表示运动的初速度。
易烊千玺我们还可以发现：在匀变速直线运动中，任意相等时间，速度的变化量是相同的。
虞书欣还有还有，在匀变速直线运动中，加速度不能为0。
何炅嘉宾们的分析可以总结为以下四句话：
何炅这四句话既是匀变速直线运动的性质，也是判定匀变速直线运动的条件。并且，这四个条件在判定过程中是等价的。也就是说，只要一个运动满足这四句话中的其中一句，这个运动就是匀变速直线运动。
撒贝宁我们一起了解了匀变速直线运动的性质和判定条件，现在让我们来聊聊匀变速直线运动中的速度-时间关系吧。
何炅我们在了解加速度的那期节目中提到了这条公式：a=（vt-v0）/t，这条公式的意思是，平均加速度等于一段时间的速度变化量除以这段时间。
撒贝宁如果我们让公式两端同时乘t，就会得到：at=vt-v0
何炅如果我们再让公式两端同时加v0，就会得到：vt=v0+at
撒贝宁这样，我们就得到了匀变速直线运动中速度与时间的关系式：末速度等于初速度加上加速度乘时间，并且要注意，这里的末速度，初速度，加速度都是矢量，在计算过程中要记得考虑方向。一般情况下，我们规定初速度的方向为正方向。计算时，我们既可以让数据本身带有正，负号，也可以让数据不带正，负号，根据实际情况自主添加合适的正，负号。
迪丽热巴我觉得，这条公式还有另一种证明方法。在速度-时间图上取纵坐标为vt，横坐标为t的一点，以vt为下底，v0为上底，t为高作一个直角梯形。过（0，v0）作高交vt，将直角梯形分割为一个长方形和一个直角三角形，vt等于长方形的宽加上三角形的底。由图片易知长方形宽为v0。在直角三角形中，底与高的比等于斜边的斜率。在速度-时间图中，直线的斜率表示加速度a，且三角形的高为t,三角形的底就等于at（at/t=a→底/高=斜率）。综上，vt=v0+at
何炅热巴同学太棒啦，她想到用几何关系来证明速度与时间的关系。
撒贝宁其实，在匀变速直线运动中，速度与时间还存在一种关系，我们把它称为：中点时刻速度。在一段时间的匀变速直线运动中，这段时间的中点时刻速度等于初速度与末速度和的一半，也就是等于这段时间都平均速度。
贺峻霖这是为什么呢？
王俊凯我觉得，我们可以通过速度-时间图像进行计算。在刚才的图像中，梯形的面积可以表示时间t内产生的位移，因为我们可以将梯形竖着切割成无数个极细的长方形，表示无数个极短时间内的位移，再将这些位移相加，得到梯形的总面积，即总位移。梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以二，所以S梯形=(v0+vt)t/2。时间t内的平均速度等于总位移除以总时间，所以v平=[（v0+vt）t/2]/t，即v平=(v0+vt)/2。继续在梯形上t/2处作梯形的中位线，梯形的中位线等于上底加下底的和除以二，即(v0+vt)/2。
何炅俊凯同学的分析非常合理！
撒贝宁嘉宾们还记得上期节目我们使用打点计时器时的纸条吗？我偷偷保存了一张，因为今天的节目仍然能用上它。我们上期节目将AB之间的平均速度近似看作vA或vB，今天我们了解了更精确的计算方法，就让我们来看看如何用新方法解决老问题吧！
所有嘉宾酷！
观众们好期待！
撒贝宁让我把上期节目的纸条拿出来。
何炅在这张纸条中，B点是AC的中点，B点时刻是AC的中点时刻，所以vB等于总位移除以总时间vB=（xA+xB）/2T。因为我们目前不知道加速度，所以无法使用速度与时间的关系式。我们还是应该使用中点时刻速度公式，AB的中点时刻速度v1=（vA+vB）/2=xA/t，则vA=2xA/t-vB。同理，BC的中点时刻速度v2=（vB+vC）/2=xB/t，则vC=2xB/t-vB，这样就可以把vA和vC的准确值算出来了。
丁程鑫我有一个疑问，分析的过程中提到我们目前不知道加速度，我们可不可以根据已有条件，计算出加速度呢？
撒贝宁程鑫同学发现了关键问题，我们确实可以计算出加速度。我们将刚才的大梯形分成三个小梯形，令每个小梯形的高为t，再将每一个小梯形都分成一个直角三角形和一个长方形。我们可以发现，三个小梯形中的直角三角形都是全等的，三个小梯形面积的差异在长方形中。我们再对长方形进行切割，在第二个长方形中切割出与第一个长方形相同的图形，在第三个长方形中切割出与第二个长方形相同的图形，可以发现，相邻两个长方形的面积差是固定的，相邻两个长方形的面积差是一个小长方形的面积，且小长方形的长和宽分别于直角三角形的高和底相等。我们知道了，直角三角形底和高的比就是斜边的斜率（加速度a），直角三角形的高为t，所以直角三角形的底为at（at/t=a)。综上小长方形的面积是at²，也就是匀变速直线运动中两个连续相等时间里的位移差为加速度乘时间的平方，即S△=at²
丁程鑫所以，小纸条运动的加速度为（xB-xA）/T²。计算出加速度，我们就可以使用速度与时间的关系式了！
何炅事实上，匀变速直线运动中连续相等时间的位移可以看作一个公差为at²的等差数列。
撒贝宁说完了速度与时间的关系，下面我们来说说位移与时间的关系吧。
何炅刚才俊凯同学在分析中提到了这一条公式：S梯形=（v0+vt）t/2，S梯形是时间t内的总位移，即s=（v0+vt）t/2。我们又知道vt=v0+at，将vt=v0+at代入s=（v0+vt）t/2中，得到s=（2v0+at）t/2，化简得到s=v0+at²/2。这就是时间与位移的关系式，位移等于初速度加上加速度乘时间的平方除以二。
肖战嘿，我发现式子里的v0和a都是常量，因为这个式子描述的是匀变速直线运动中时间与位移的关系（a的大小和方向不变）。所以，位移的表达式是一条关于t的一元二次方程式。
撒贝宁肖战同学说得很好，如果位移s随时间t的变化关系为t的一次函数（只存在常数项v0，a=0），则公式描述的是匀速直线运动。如果位移s随时间t的变化关系为t的二次函数（a≠0），则公式描述的是匀变速直线运动。如果位移s随时间t的变化关系为t的三次及以上函数，则公式描述的是变变速直线运动。
何炅接下来请嘉宾们思考一个问题：s为位移，t为时间，当s=t³时，速度v与时间t的关系式是什么样的呢？
沉思一会儿之后……
王一博这条公式说明，在t时刻时，s=t³，那么在t加上极短的时间△t时，s1=（t+△t）³。
赵露思在△t时间内，位移的变化△s=s1-s，s1=t³+3t²△t+3t△t²+△t³，s=△t³，则△s=3t²△t+3t△t²+△t³，而v=△s/△t，所以v=3t²+3t△t+△t²，
王源因为△t是一段极短的时间，所以我们可以将△t近似为0，最后得到式子：v=3t²
何炅嘉宾们太棒啦！
撒贝宁接下来我们说说速度与位移的关系吧！在没有时间条件的时候，这条关系式用起来十分方便。这条式子是：vt²-v0²=2as
易烊千玺如何证明这条式子成立呢？
贺峻霖我们可以把式子转化为（vt+v0）（vt-v0）=2as，在式子的左端，vt+v0是中点时刻速度的两倍，也就是平均速度的两倍2v平，vt-v0=at，所以（vt+v0）（vt-v0）=2v平at，v平t等于总位移，所以（vt+v0）（vt-v0）=2v平at=2as，可以从式子的左端推出右端，所以这个式子成立。因为这个式子由vt²-v0²=2as转化而来，这个式子成立，所以vt²-v0²=2as也成立。
何炅俊霖同学的分析很正确！下面就让我们用这条公式来解决问题吧！请嘉宾们思考，一辆汽车原本以15m/s的速度水平向右做匀速直线运动，不远处有一个人，汽车司机赶紧踩刹车，让汽车在三秒之内停下来。请问汽车在刹车过程中的位移是多少呢？
鞠婧祎汽车能在三秒之内停下来，也就是在三秒之内使速度减小为零。规定水平向右为正方向，汽车的加速度为（0m/s-15m/s）/3=-5m/s²,加速度大小为5m/s²，方向水平向左
王源接下来，我们可以用速度与位移的关系式求出0²-15²=2·（-5）·s，计算得出s=22.5m
虞书欣我们还可以用时间与位移的关系式，求出s=15·3+（-5）·3²/2=22.5（m）
撒贝宁嘉宾们说的真好！
何炅最后我们再来说说中点位移速度吧！中点位移速度指的是在匀变速直线运动中，当物体位移是总位移一半时的速度。根据速度位移公式，我们可以得到①式：v半s²-0²=2a·s/2，②式：vt²-v半²=2a·s/2，②式与①式的左右两端分别相减得到2v半s²=vt²+v0²，化简得v半s=√[（vt²+v0²）/2]
撒贝宁那么问题来啦，中点位移速度和中点时刻速度，哪个更大呢？
王一博我记得我们在录制数学季时了解过平方均值与算数平均数的关系，即√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2，当且仅当a=b时，等号成立。那么中点位移速度和中点时刻速度就是初速度v0和末速度vt的平方均值和算术平均数，可以得到√[（vt²+v0²）/2]≥（vt+v0）/2，当且仅当vt=v0时，等号成立，当vt≠v0时，等号不成立，即中点位移速度恒大于中点时刻速度。
肖战我认为我们还可以通过速度-时间图像来解决。在速度-时间图中，梯形高的中点为t/2，梯形的中位线长为（vt+v0）/2，即中点时刻速度。用梯形的面积公式可以计算出，中位线左侧的面积小于右侧的面积，也就是中点时刻之前的位移小于之后的位移，此时再作出一条线，使这条线左右两侧梯形的面积相等，则这条线必定在中位线右侧，且比中位线长。这条线的长度就是中点位移速度。综上中点位移速度恒大于中点时刻速度。
何炅一博和肖战分析的得很好。一博在分析中提到了当且仅当vt=v0时等号成立，也就是说，只有在匀速直线运动中，中点位移速度与中点时刻速度相等。其他任何的匀变速直线运动中，中点位移速度恒大于中点时刻速度。
撒贝宁需要补充的一点是，今天所讲的所有公式都只能在分析匀变速直线运动时使用。我们分析公式时，以匀加速直线运动为例子，其实匀减速直线运动仍然可以推导出这些式子，感兴趣的观众朋友们可以自己算一算。
何炅今天的节目就到此结束了，我们一起了解了匀变速直线运动中的速度，时间，位移关系。想要了解更多精彩内容，敬请期待下一期的--男生女生请就位！我们下期再见！
观众们呜呜呜呜呜呜呜！
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