尺规作正n边形？（暂时n=5）

林乌山这几天我半夜睡不着起来的时候，总是看见作者房间的灯亮着。梅秋月，你猜猜作者在干什么呢？

梅秋月嗯……他在勤奋地……创作？还是写作业呢？

林乌山很可惜，都不是。

梅秋月啊？怎么会呢～～

林乌山其实咱们作者有个毛病，而且经常被部分人诟病。

梅秋月不会吧？

梅秋月是什么呀？

林乌山就是遇到问题喜欢钻牛角尖，时不时还自找麻烦。

梅秋月……这样有时确实对高效利用时间不利呢。

梅秋月——让我猜猜，作者在研究这一章的标题吧？

林乌山恭喜你，猜对了

林乌山真聪明

梅秋月哇哦～被夸了呢～人家好高兴呀～

林乌山——不过作者相比起之前已经有所进步了。

梅秋月怎么说？

林乌山作者在自找麻烦前，先查阅了相关资料。

林乌山他书架上正好有一本《趣味几何学》，而且第208页正好对这一问题有所解释。

梅秋月这还能好点……等等，你是怎么记得那么准的？

林乌山啊？我不到啊～

梅秋月你也有点调皮呢。

梅秋月——话说回来，书上是怎么解释的呀？

林乌山嗯……这我就想不起来了，不过我记得有回我和作者一起看派蒙科普（一说π蒙科普）的一个利用信息技术花一节课作正257边形的视频，视频里的一段话其实可以让我们作者所做工作的价值化为乌有——

梅秋月啊？不会吧不会吧？

林乌山和你说完你就明白了。总的来说，他讲的是，利用尺规作图可以对任意线段进行加、减、乘、除、开方的操作。

梅秋月……先等等，加、减、乘我明白，除的话虽然我没试过，但是利用相似三角形对应线段的比相等应该也可以解，开方是怎么回事呢？

等等我！我查一下！

林乌山啊？作者你……

听我解释！其实昨晚我就在想，我应该复习一下那个视频了！里面有讲的！

——你们两个要不也来看看？

林乌山……也好，知其然，知其所以然。且学而时习之，不亦说乎？

梅秋月我也要看看，是什么问题让我们的作者两天没睡好觉！

……这就不用特别提了吧。

（三人一起去复习了一会）

虽然但是，他根本没讲明白啊！

林乌山就是啊！像2+√2这种东西怎么开方他都没讲明白！

所以容我再查点别的资料

（114秒后）

这可真神奇。已知A(0,0)，B(1,0)，C(m+1,0)，作AC的中点D，以D为圆心，AD为半径画圆D，作BE⊥AC交圆D于E，则BE=√m。为什么呢？

梅秋月这……我怎么知道呀～！

你要撒娇就冲你的林乌山撒去，我没工夫跟你闹

梅秋月（脸红）诶诶诶！作者你——

林乌山（意外地冷静）——先冷静。这个问题我们虽然一头雾水，但不行动就一定没有收获。首先，圆的性质非常好，我们连接EA、ED和EC，于是立刻就有DA=DE=DC——

梅秋月（着急）不是，林乌山，你是不是默认了什么啊！

林乌山（才意识到问题）啊？作者的说法不太对吗？

梅秋月（气急败坏）不然呢！你觉得就凭咱们现在的关系，作者这样说合适吗！

林乌山（榆木脑袋）所以说就不合适咯？

梅秋月（生气）当然！哼！

（真是一出好戏啊～）

林乌山（发动瞬时小结界弹开了作者）

林乌山不要打扰我们研究问题！——梅秋月，这样好了吗？

梅秋月（平静下来）嗯，差不多了。

林乌山（但总感觉哪里不对啊……）

林乌山所以∠DAE=∠AED，∠DCE=∠CED，又∵∠DAE+∠AED+∠DCE+∠CED=180°，∴∠AED+∠CED=90°。

梅秋月好诶！是直角！可是用什么用呢？

林乌山有大用了。这样就能结合七年级最牛定理“等角的余角相等”和“有两组角相等的三角形是相似三角形”判断⊿EBA∽⊿CBE，设BE=x，根据相似三角形对应线段的比相等就有x/1=m/x，立刻就能知道x=√m。

梅秋月……

梅秋月（一蹦三尺高，脸上洋溢着兴奋）——哇！太好了！我们做到了！林乌山你好棒啊！

林乌山诶，有吗，承蒙夸奖了～

梅秋月嗯……正三角形、正四边形都非常好作，那么作者要作——

正五边形！

林乌山显得你啊！

林乌山——作者啊，虽然我最近在干别的，但是我问一下，如果nπ/20不是特殊角的话，你应该就束手无策了吧？

那当然。——我还有事，我先走了，你们两个好好聊啊！

林乌山总感觉作者想让我们发展点什么啊……（小声）

梅秋月林乌山，你有说什么吗？

林乌山（脸红）啊？没有没有，继续讨论！

梅秋月所以我听人们所说的特殊角中从来没有出现过nπ/20这种角啊，那你们是什么意思呀？

林乌山……

林乌山……话说，刚才我瞟到了作者桌上的草稿纸，不得不说，这家伙多少还是有点脑子的。

梅秋月嗯？怎么说？

林乌山他作了一个∠A=72°，∠B=90°的⊿ABC，又作了∠A的角平分线交BC于D，再延长AB到E使AD=AE。设AB=1，BD=x，梅秋月，你可以看看，这么做完是不是比当∠A是一般角时多了什么性质？

梅秋月嗯……哇！⊿ABC和⊿EBD相似诶！所以2x/(1-x^2)=x/(√(1+x^2)-1)？

林乌山你连二倍角公式都知道啊？可以啊！看来你也有认真地和作者一起学习呢。

梅秋月那是当然，人家可是要成为优秀的女孩子呢～

林乌山既然这样，试着解一下这个方程吧。

梅秋月好的～！

（过了一阵）

梅秋月嗯……化简得到0=5-10x^2+x^4，再因式分解得到（x+√(5+2√5)）（x+√(5-2√5)）（x-√(5+2√5)）（x-√(5-2√5)）=0。根据x的实际意义，这四个实根里只能取x=√(5-2√5)，对吗？

林乌山对！干得漂亮！真有你的！

梅秋月哇哦～人家真的很厉害耶～！

林乌山那当然了。再运用我们之前的一系列结论，我们就能作正五边形了！

梅秋月好耶～！开工！

尺规作图阵——起！

作任意直线l；画一笔交l于A；在l上、A右侧截AB=1；<省略式>在l上、B右侧截BC=2，BD=5；<省略式>在AB上方作直线BE⊥AB且线段BE=AB；连接EC；<省略式>在l上、D左侧截FD=2EC；<省略式>以AF为直径作⊙G交BE于H、I且H在I上方；连接AH、AI；以A为圆心、AB为半径作⊙A交AH、AI于M、N；MN即为⊙A内接正五边形的一条边。

尺规作图阵——收！

林乌山好了，

梅秋月本章，

完！