灯下争鸣

夜色像浸了墨的绒布，把校园裹得严严实实。晚自习结束的铃声早已消散在晚风里，高三（1）班的教室只剩下零星几盏灯还亮着，最终也随着最后一个同学的离开归于沉寂。宿舍楼里却藏着另一番热闹，洗漱台的水流声、偶尔传来的低声说笑，都被厚重的木门挡在走廊里，唯独302寝室的灯光格外明亮，像黑夜里一颗不肯熄灭的星。

窗外的桂树影影绰绰，细碎的花瓣被晚风卷着，落在窗台上，带着清冽又温柔的香气。慕筠钰坐在靠门的书桌前，台灯把她的影子投在墙上，手里捏着的钢笔在草稿纸上停顿许久，眉头微微蹙着。桌角摊开的数学试卷上，最后一道函数大题用红色油墨标着醒目的“12分”，像是一道难以跨越的关卡。她已经在这道题上耗了近半个小时，草稿纸上画满了密密麻麻的函数图像，线条纵横交错，却始终没能找到正确的解题思路。

“呼——”对面床铺传来一声轻不可闻的叹息，江若衍把笔往试卷上一搁，揉了揉发胀的太阳穴，语气里带着几分烦躁，“这道题到底是什么鬼啊？我试了三次换元法，每次算到最后都跟答案选项对不上，难道是我换元的方式错了？”

她的话像一颗石子投入平静的湖面，立刻引起了连锁反应。陈楚曦推了推鼻梁上的眼镜，从堆积的习题册里抬起头，指尖还停留在试卷的第三问上：“我也卡在这了。前两问还算顺利，第三问的恒成立问题，我用分离参数法算出来的范围和参考答案偏差很大，而且总觉得逻辑上有漏洞，但又说不出哪里错了。”

暮忆年放下手里的自动铅笔，速写本被推到桌角，上面还留着下午没画完的视察场景草图。她的试卷上画着简洁的思维导图，把函数的定义域、值域、单调性都梳理得清清楚楚，却在最后一步的取值范围上打了个大大的问号：“我尝试用数形结合，把两个函数的图像画了出来，但临界点的位置总是判断不准，而且题目里的隐含条件好像没挖全，总觉得少了点什么。”

慕筠钰闻言，心里顿时涌上一股莫名的熟悉感——原来不是自己一个人被这道题难住了。她把草稿纸往中间一推，示意三人围过来：“我刚才用了导数法，先求了函数的单调性，再结合极值点去分析，但算出来的结果和参考答案完全不一样。要不咱们各自说说自己的思路，说不定能互相启发？”

江若衍第一个凑过来，把自己的草稿纸摊在桌子中央，上面用不同颜色的笔标注着换元的步骤：“你们看，我把t=√(x-1)代入原函数，这样就能把无理函数转化为二次函数，然后根据二次函数的对称轴和定义域来求最值。前两问用这个方法都没问题，第三问我也是这么做的，但算出来的a的取值范围是a≤-3，可参考答案给的是a≤-4，差了一个数，我反复检查了计算过程，没发现哪里算错啊。”

她一边说一边用指尖点着草稿纸，语气笃定：“换元法肯定是没问题的，这道题的结构就是典型的‘无理函数转二次函数’模型，我之前做过类似的题，都是这么解的。说不定是参考答案印错了？或者是我哪里漏看了定义域的限制？”

陈楚曦摇摇头，把自己的试卷递过去，上面的解题步骤工整得像印刷体：“换元法虽然可行，但容易忽略定义域的等价转化。我用的是分离参数法，把a单独放在一侧，得到a≤-x²+2x-5，然后求右边函数在给定区间上的最大值。我算出来这个函数的最大值是-4，所以a≤-4，和参考答案一致。”

她顿了顿，指着江若衍的草稿纸补充道：“你看这里，换元后t的取值范围是t≥0，对应的x=t²+1，代入后二次函数的定义域是t≥0，而你在求二次函数最值的时候，是不是没考虑到对称轴的位置在t=-1，不在定义域内？所以最大值应该在t=0时取得，而不是对称轴处，这就是你算错的原因。”

江若衍皱着眉反驳：“不可能啊！我明明考虑到t≥0了，而且二次函数的开口向下，对称轴在t=-1，所以在t≥0时函数是单调递减的，最大值确实在t=0时取得，算出来的结果应该是-4才对，但我刚才算出来的是-3，难道是计算失误？”她拿起笔重新演算，笔尖在纸上飞快地划过，嘴里还念念有词：“t=0时，x=1，代入原函数……不对，分离参数的时候，你是不是把符号搞反了？”

“绝对没有。”陈楚曦的语气带着一丝不容置疑，“分离参数时要注意不等号的方向，原函数是a√(x-1) ≤ -x²+3x-6，因为√(x-1)≥0，所以分离a的时候不等号方向不变，得到a ≤ (-x²+3x-6)/√(x-1)，然后令t=√(x-1)，化简后得到a ≤ -t³ - 2t + 1，再求这个函数的最大值。我用导数法求了这个函数的单调性，发现它在t≥0时单调递减，所以最大值在t=0时取得，就是-4，这个逻辑是完全通顺的。”

暮忆年轻轻敲了敲桌子，把自己画的函数图像推到中间：“我觉得数形结合更直观。我把原函数拆成了y1=a√(x-1)和y2=-x²+3x-6，题目要求y1≤y2恒成立，也就是y1的图像始终在y2的图像下方。y2是一个开口向下的抛物线，顶点坐标是(1.5, -3.75)，而y1是一个幂函数经过伸缩变换后的图像，当a≤0时，函数单调递减。”

她用铅笔在图像上标注出关键点：“你们看，当x=1时，y1=0，y2=-4，所以此时y1=0 > y2=-4，不满足条件；当x=2时，y1=a，y2=-4+6-6=-4，所以a≤-4才能满足y1≤y2；当x=3时，y1=a√2，y2=-9+9-6=-6，所以a√2≤-6，即a≤-3√2≈-4.24，比-4更小。综合来看，a的取值范围应该是a≤-3√2，而不是参考答案给的a≤-4，所以我觉得参考答案可能有问题，或者我们都漏看了什么隐含条件。”

这个观点立刻引起了争议。慕筠钰摇摇头，把自己的导数法解题过程展示出来：“我不认同你的看法。我直接对原函数求导，令f(x)=a√(x-1) + x² - 3x + 6，题目要求f(x)≤0恒成立，所以f(x)的最大值≤0。求导后得到f’(x)=a/(2√(x-1)) + 2x - 3，令f’(x)=0，很难直接解出极值点，所以我用了特殊值法，分别代入x=1、x=2、x=3，发现当a≤-4时，f(x)在定义域内的最大值为0，刚好满足恒成立条件；而当a=-3√2时，虽然在x=3时满足，但在x=2.5时，f(x)的值为正，不满足恒成立。”

她顿了顿，语气带着几分认真：“数形结合虽然直观，但容易受图像精度的影响，判断临界点时会出现误差。而且你在拆分函数的时候，没有考虑到y1和y2的交点位置，仅仅根据几个特殊点来判断取值范围，逻辑上不够严谨。我觉得导数法更可靠，通过分析函数的单调性和极值点，才能准确求出a的取值范围。”

江若衍此时已经重新演算完毕，脸上带着一丝得意：“我刚才确实算错了，重新算之后得到的结果是a≤-4，和陈楚曦的答案一致。所以换元法是可行的，关键是要注意计算过程的准确性。暮忆年的数形结合之所以出错，就是因为没有准确计算出函数的交点位置，而且忽略了恒成立问题需要‘全程满足’，而不是几个特殊点满足就行。”

“不对，”暮忆年坚持自己的观点，“我刚才又重新画了图像，并且计算了交点位置，发现当a=-4时，y1和y2在x=2处相切，而在x>2时，y1的图像会在y2的上方，不满足恒成立条件。这说明你的换元法和分离参数法都有问题，可能是在化简过程中出现了错误。”

陈楚曦拿出计算器，快速敲击着键盘：“我用计算器验证过了，当a=-4，x=3时，y1=-4√2≈-5.66，y2=-6，此时y1=-5.66 > y2=-6，确实不满足条件！这说明我的分离参数法有问题，可能是在化简的时候符号出错了。”

慕筠钰也立刻拿出计算器核对，脸上露出惊讶的表情：“真的！我刚才用导数法的时候，没有代入x=3验证，只算了x=2和x=1，所以出错了。那问题到底出在哪里？”

四人重新陷入沉思，寝室里只剩下笔尖划过纸张的沙沙声和偶尔的计算器按键声。窗外的桂花香似乎更浓了，却驱不散空气中越来越浓的焦灼感。

江若衍把换元后的化简过程重新写了一遍，逐字逐句地检查：“原函数是a√(x-1) ≤ -x²+3x-6，令t=√(x-1)，则x=t²+1，代入后得到a t ≤ -(t²+1)² + 3(t²+1) - 6。展开右边：-(t⁴+2t²+1) + 3t²+3 -6 = -t⁴ -2t² -1 +3t² +3 -6 = -t⁴ + t² -4。所以不等式变为a t ≤ -t⁴ + t² -4，因为t≥0，当t=0时，不等式变为0 ≤ -4，不成立，所以t>0，此时可以两边同时除以t，得到a ≤ -t³ + t - 4/t。哦！我之前化简错了！这里应该是a ≤ -t³ + t - 4/t，而不是我之前写的-t³ -2t +1，难怪结果不对！”

她的声音里带着一丝懊恼，又有几分释然：“所以换元后的化简步骤出错了，导致后续的计算都错了。现在纠正过来，问题就变成了求函数g(t)=-t³ + t - 4/t在t>0时的最小值，因为a要小于等于这个函数的最小值才能恒成立。”

陈楚曦立刻接过话头：“那我用导数法求g(t)的最小值。g’(t)=-3t² +1 +4/t²，令g’(t)=0，即-3t² +1 +4/t²=0，两边乘以t²得到-3t⁴ + t² +4=0，令u=t²，u>0，方程变为-3u² +u +4=0，解得u=( -1±√(1+48) )/( -6 )=( -1±7 )/( -6 )。因为u>0，所以u=( -1+7 )/( -6 )=-1（舍去），或者u=( -1-7 )/( -6 )=4/3。所以u=4/3，t=2/√3。代入g(t)得到g(2/√3)=-(8/(3√3)) + (2/√3) -4/(2/√3)= -(8√3)/9 + (6√3)/9 - 2√3= (-2√3)/9 - 2√3= (-20√3)/9≈-3.85。所以a≤-20√3/9≈-3.85？但这和之前的结果又不一样了。”

暮忆年拿出草稿纸，快速画着g(t)的图像：“这个函数的定义域是t>0，当t趋近于0+时，-4/t趋近于-∞，所以g(t)趋近于-∞；当t趋近于+∞时，-t³趋近于-∞，所以g(t)也趋近于-∞。这说明g(t)在t>0时没有最小值，只有极大值？那这道题的恒成立条件是不是无解？但题目明确说有解，说明我们的思路还是有问题。”

慕筠钰皱着眉，把题目重新读了一遍：“题目说‘对任意x∈[1, +∞)，不等式a√(x-1) ≤ -x²+3x-6恒成立’，当x=1时，左边是0，右边是-1+3-6=-4，0≤-4不成立，所以这个不等式在x∈[1, +∞)上根本不可能恒成立？这难道是一道错题？”

“不可能，”陈楚曦立刻反驳，“这是名校模拟题，不可能出错。肯定是我们哪里理解错了题目。再仔细看看题目，是不是‘存在x∈[1, +∞)，使不等式成立’？但题目写的是‘对任意x’。”

江若衍把题目看了又看，语气肯定：“题目确实是‘对任意x∈[1, +∞)’。那如果x=1时不成立，这道题的答案就是无解？但参考答案给的是a≤-4，这说明我们肯定哪里还是错了。”

暮忆年突然开口：“会不会是我拆分函数的时候错了？原函数是a√(x-1) ≤ -x²+3x-6，整理一下应该是x² + a√(x-1) -3x +6 ≤0。令f(x)=x² -3x +6 +a√(x-1)，求f(x)≤0在x∈[1, +∞)上恒成立。当x=1时，f(1)=1-3+6+0=4>0，所以无论a取什么值，x=1时f(x)=4>0，都不满足f(x)≤0，所以这道题确实无解？但参考答案为什么给a≤-4？”

她的话让寝室里陷入了沉默。四人面面相觑，脸上都带着困惑和不解。刚才激烈的讨论还余温未散，每个人都坚持自己的思路是正确的，可越讨论越发现矛盾重重，最终竟然得出了“题目无解”的结论，这和参考答案完全相悖。

江若衍有些不耐烦地把笔一扔：“算了算了，这道题太怪了，说不定是我们哪里没考虑到。反正我的换元法思路是对的，只是刚才化简错了，现在纠正过来，结果应该是无解。”

“不对，”陈楚曦摇摇头，“分离参数法的逻辑是严谨的，只是刚才化简出错了，现在重新化简后，虽然得到了不同的结果，但题目本身可能存在隐含条件我们没挖出来。而且参考答案不会平白无故给a≤-4，肯定是我们哪里错了。”

慕筠钰看着三人，心里有些烦躁。她一直觉得自己的导数法是最可靠的，可现在也陷入了困境。而且刚才讨论的过程中，每个人都坚持自己的观点，互不相让，甚至隐隐带着一丝争执的意味，让她心里很不舒服：“或许我们应该换个角度，看看老师上课讲的类似题型，或者明天去问老师。现在争论下去也没结果。”

“问老师多没意思，”江若衍撇撇嘴，“我们四个这么厉害，连一道数学题都解不出来？我觉得我的思路是对的，就是题目可能有问题，或者参考答案错了。”

暮忆年轻轻叹了口气：“我还是觉得数形结合更直观，而且根据x=1时的情况，这道题确实无解，所以参考答案肯定错了。”

陈楚曦推了推眼镜，语气带着一丝固执：“分离参数法不会错，可能是我在求导的时候出错了，我再算一遍。”

四人又各自回到自己的座位上，重新演算起来，只是这次没有了之前的热烈讨论，寝室里只剩下沉默的较劲。窗外的桂花香似乎也变得有些沉闷，灯光下，四人的身影显得有些疏离。

慕筠钰看着草稿纸上密密麻麻的算式，心里突然涌上一股莫名的委屈。她们四个从来都是并肩作战的伙伴，不管是蹦极还是接待视察，都能默契配合，互相支持。可现在，一道数学题竟然让她们争得面红耳赤，互不相让，甚至隐隐有了隔阂。

她想起下午视察结束后，四人一起约定高考结束后去看演唱会、去海边露营的场景，心里一阵失落。难道她们的友谊就这么脆弱，一道数学题就能轻易打破？

江若衍演算了半天，还是没得到满意的结果，忍不住抱怨道：“真是的，一道破题而已，至于吗？每个人都觉得自己是对的，其实谁也说服不了谁。”

陈楚曦抬起头，眼神里带着一丝不悦：“做题就要严谨，不能随便下结论。我的思路肯定是对的，只是暂时没找到问题所在。”

暮忆年没有说话，只是默默地画着图像，眉头越皱越紧。她不喜欢这样的氛围，也不喜欢和朋友们争执，但在这道题上，她确实觉得自己的思路是正确的。

慕筠钰深吸一口气，试图打破僵局：“好了，别吵了。这道题我们现在确实解不出来，不如先放一放，明天去问老师。不管谁对谁错，都没必要因为一道题影响我们的感情。”

“谁吵了？”江若衍立刻反驳，“我只是陈述事实，我的思路确实没问题，是你们太固执了。”

“我固执？”陈楚曦也来了火气，“你刚才化简错了还不承认，现在还说别人固执？如果不是你一开始化简出错，我们也不会绕这么多弯路。”

“我后来不是纠正了吗？”江若衍的声音提高了几分，“而且你分离参数的时候也没考虑到x=1的情况，不也错了吗？”

暮忆年看着争吵起来的两人，想劝劝却不知道该说什么。慕筠钰也感到一阵头疼，她没想到事情会发展到这个地步。原本只是想一起讨论解题思路，没想到却变成了互相指责的争执。

寝室里的气氛越来越僵，桂花香似乎也消失了，只剩下弥漫在空气中的火药味。四人各自坐在自己的座位上，谁也不说话，只有灯光在沉默中微微晃动。

慕筠钰看着桌上的应援旗，马嘉祺的名字在灯光下泛着微光，上面“保持热爱，奔赴山海”的字样此刻显得有些刺眼。她想起白天四人一起迎接领导时的默契配合，江若衍讲解时眼里的光、陈楚曦递资料时的认真、暮忆年指路时的细致；想起一起布置展板时，她们趴在地上涂颜料，指尖沾着橙色和蓝色，笑着说要把青春的颜色画进去；想起蹦极时，四人手拉手喊着口号跃下跳台，应援旗在风里飘成一片流动的光。那些画面曾经那么鲜活，此刻却被眼前的沉默和僵持衬得格外遥远。

江若衍把脸扭向窗外，夜色中桂树的影子像一团模糊的心事。她心里也不好受，刚才的话冲口而出后就有些后悔，可话已出口，骄傲让她拉不下脸道歉。她想起自己抱着应援旗和大家一起贴“减压墙”的日子，想起约定高考后一起去看王橹杰演唱会的憧憬，鼻尖突然有些发酸。

陈楚曦重新低下头，却再也看不进草稿纸上的算式。她一向严谨，容不得半点差错，可刚才的争执里，她也知道自己语气太硬了。她摸了摸口袋里那颗还没吃完的砂糖橘，是下午和大家一起分享的，甜意还留在舌尖，心里却泛起一阵涩味。

暮忆年轻轻合上速写本，封面上的四面应援旗图案被灯光照亮，像四个小小的、沉默的约定。她拿起铅笔，想画点什么打破沉默，却只在纸上画了几道凌乱的线条，像心里解不开的结。她怀念刚才讨论题目的热烈，哪怕有分歧，也是为了同一个目标，可现在，那份热烈变成了伤人的棱角。

窗外的风停了，桂花瓣静静地躺在窗台上，再也没有被吹动。302寝室的灯光依旧明亮，却照不进四人之间那道无形的裂缝。时钟滴答滴答地走着，敲打着每个人的心事。她们都是彼此最亲密的伙伴，一起闯过那么多难关，可此刻，一道数学题引发的争执，却让这份坚不可摧的友谊第一次出现了裂痕。

慕筠钰悄悄拿起手机，点开四人的聊天群，输入又删除，删了又写，最终只打出一行字：“明天一起问老师吧。”却迟迟没有按下发送键。她不知道，这道裂缝会不会像草稿纸上的错题一样，只要找到正确的解法就能修正；也不知道，明天的晨光升起时，她们能否像往常一样，笑着说“早啊”，把今晚的不快轻轻放下。

但江若衍确实错了，陈楚曦说的也并非没有道理，明明自己也说了解法，暮忆年一开始在讨论后又沉默……难道4个人的友谊就要因为一道函数题吗？……