梅秋月，告诉你个好消息，今天你可以和林乌山玩Cosplay了！
梅秋月哇～！我们还有这种戏份吗？
当然，不然你们两个怎么发展？
梅秋月（脸红）嗯……
（看来经过这两章你们真的有所发展啊，我很欣慰=D）
好了，办正事！
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林乌山估计很多人，包括我看到这三个毫无关联的问题凑在一起作本章标题时都一头雾水。所以，我们得好好讲个故事了……
梅秋月好呀好呀！我喜欢听故事！
林乌山某个寒冷的冬天，作者在为考CSP做准备。
林乌山这时他练到一道题，题目是这样的……——梅秋月，换下衣服，Cosplay段来了。脚本给你……
梅秋月好。（开始换衣服）
林乌山（大饱眼福）
梅秋月（突然意识到问题）（一下子脸涨得通红）（遮住关键部位）诶诶诶，林乌山，你别在这时候看着我啊！羞死人了！
林乌山啊？哦，对不起，我这就扭头（偷笑）
梅秋月真是的！女孩子换衣服你也不躲着点！（生气）
林乌山是我的不对咯～♪
（其实现在很难办，因为原题中是一位公主出了一道难题，谁能解出这道难题，她就嫁给谁：公主站在边长为2^n格的正方形网格中的一格中，用面积三格的L形地毯铺满除公主所在位置的所有网格。这我哪知道怎么让他们演啊！）
（不过我会尽力的）
林乌山——微臣林乌山觐见公主殿下。
梅秋月平身。
梅秋月——林乌山，今日你来此地，想必是要解我的难题。你若解出，我便情愿以身相许；若解不出，浪费我的时间，该当何罪？
林乌山请殿下放心，我虽不察万物之理，却也可解那难题。请殿下明示！
梅秋月……善。其问：今有正矩网，方二之数次方尺，余立其中某处。又有无数方毯，径二尺，今皆去其一角，所弃者亦悉矩也，而其径一尺。若以此阙方毯覆正矩网于余之余，问何以布之？
林乌山……此问变数颇多，常人不能解之。然「径二之数次方」一事甚怪。此中必有蹊跷。
林乌山无论殿下立何处，作矩网两组对边中点之连线，纵者名之「经」，横者名之「纬」，四方分之，殿下必于一方，余三方遂空虚，空虚则以一阙方毯覆三方相接处之三格。
林乌山径既为二之数次方，则缘「经」「纬」二线割其网，定能使四方全等。此时其问不变，而数量增，规模降。复用此法，即得其解。是谓「递归」。
梅秋月甚好。君子一言，驷马难追，我就按照约定……
梅秋月（反应过来）（瞬间变得难为情）
梅秋月什么嘛！作者是故意的吧！
林乌山嗯？怎么了？让我看看脚本……我的天呐！还有这种好事！
梅秋月（生气）你说什么？！
林乌山（一把抱过来）（贴得很近）（一字一句）我说，还有这种好事吗？
梅秋月（害羞）你、你真的想……？
林乌山（坚定）对呀！
梅秋月（一把推开）……不行不行，现在还是太早了！我想……总之，你懂的！
林乌山唉。道阻且长啊！
林乌山——说正事。不知道你有没有想过，根据「臣」的解法，在「数次方」是n次方时，如果要用f（n）块地毯，那么f（n）的解析式是什么呢？
梅秋月啊？……这我怎么会知道呢！
林乌山别刚开始就退缩嘛。想想看，这里有什么等量关系？
梅秋月嗯……所用地毯数y=网格总有效面积x/每块地毯的面积3？
林乌山真不错！一下子就找到了问题所在！
林乌山——那么，把x用n表示出来吧？
梅秋月这样的话，就是y=（（2^2n） -1）/3吧？
林乌山很好。根据问题的实际意义，我们直觉认识到，（（2^2n）-1）/3是自然数。可是从代数角度上看，我们如何证明呢？
梅秋月嗯……完全不知道呀！林乌山，你快说出来吧，别卖关子啦！
林乌山……
林乌山这不是得培养你独立思考的能力嘛。——好吧，我们先让n=0，这时立刻得到原式=0；n=1，立刻得到原式=1；n=2，原式=5；n=4……就不太好算了。不过，梅秋月，我给你提个特别的要求，你可以把n是0到3时，n、原式的分子、分母以及结果用二进制表示吗？
梅秋月这个我可以的！
梅秋月——n=（0）₂，原式=（0/11）₂=（0）₂；
梅秋月n=（1）₂，原式=（11/11）₂=（1）₂；
梅秋月n=（10）₂，原式=（1111/11）₂=（101）₂；
梅秋月n=（11）₂，原式=（111111/11）₂=（10101）₂；
梅秋月——好神奇！为什么每个分子都有2m个1呢？
林乌山对啊，为什么呢～♪
梅秋月不是叫你不要卖关子了嘛！（打）
林乌山疼！轻点！——换个话题，我们说说作者吧。其实这堆问题都是作者抛给我们的，他还因为自己解决了这个问题而自鸣得意呢！
梅秋月啊？作者也欠揍了呢！（生气）
林乌山——别急，除我之外所有人都帅不过三秒，他自以为重要的发现早就普遍到了被扔进练习册的程度！
梅秋月……这还差不多。等等，刚才那句为什么除了你？
林乌山呃……总之正事要紧！根据作者的练习册，举个例子，当n=4时，我们可以作（（2^8）-1）的变换为2^8+2^6+2^4+2^2-2^6-2^4-2^2-1。这堆东西看着比原式麻烦得多，所以你不要想着展开算，不过可以试试因式分解。
林乌山——呃，说这么多项有点累，今规定sum(int a,int b,string fx,char c='i')=Σ（i=从a到b，f（x）），就方便了。
梅秋月嗯……这么多项，肯定要分组分解了吧！看你写成这样，应该是想帮我一把，那我试试～原式=2^2sum(0,3,2^2i)-sum(0,3,2^2i)……等于（2^2-1）sum(0,3,2^2i)呀！所以我们证明了0≤n≤4时原式是自然数呢！好耶！
林乌山漂亮。那么，你再想一想，你的做法是不是对n是任意自然数都成立呢？
梅秋月我看看……哇，都成立诶！因为对于任何（2^2n）-1，我们总可以作恒等变换为（2^2）sum(0,n-1,2^2i)-sum(0,n-1,2^2i)=（（2^2）-1）sum(0,n-1,2^2i)，这样原式就一定可以被3整除了！太好了！
林乌山非常好。原命题得证。
林乌山那么你再想想，我们的题目以及证明过程中，是不是还有一些具体数字可以换掉呢？
梅秋月嗯……可以把底数2换成x？或者把指数2换成x？——哎呀，干脆都换掉吧！这样普遍性好一些呢！
林乌山——不不不，梅秋月，你还是没看出来这个式子中底数2和指数中的2是毫无关联的。事实上，在作者最后的研究成果里，有x、m、n三个变量！
梅秋月哇！作者那么厉害呀？快和我说说吧！
林乌山嗯……让我想想怎么引导你——
梅秋月直说！我要看最简洁的证明过程！
林乌山（一脸无奈）好吧好吧。是这样的：((x^mn)-1)/((x^m)-1)=sum(0,n-1,x^mi)。
梅秋月……啊？这也太神奇了吧！怎么来的呢？
林乌山其实你已经写出了当x=2、m=2时的证明过程。你只需要稍作修改就可以了～
梅秋月好的！对于任何（x^mn）-1，我们总可以作恒等变换为（x^m）sum(0,n-1,x^mi)-sum(0,n-1,x^mi)=（（x^m）-1）sum(0,n-1,x^mi)，于是原式=sum(0,n-1,x^mi)。好耶！
林乌山真棒！不愧是我的小梅！
梅秋月（害羞）嗯……
你们两个终于互相接受对方了啊。
林乌山不要打扰我们两个讨论问题！（释放龙卷之咒）
我真是开心得飞起来啊～（被吹走）
林乌山（总感觉刚才的行为有点……）
梅秋月林乌山，我们已经说完了标题的前两项，那么第三项“梅森素数”又是什么东西呢？
林乌山这个啊。梅秋月你看看，我们如果设mn是素数p，那么根据m、n的实际意义，它们是不是就只能取m=1，n=p或m=p，n=1了？
梅秋月对呀？
林乌山那么再令x=2，此时你就会惊奇地发现，（x^p）-1就变成素数了！
梅秋月……哇哦，真的！
林乌山这就是大名鼎鼎的梅森素数。它就是说，如果p是素数，那么（2^p）-1也是素数。
梅秋月……等等，我有个问题，为什么x一定取2呢？
林乌山你可以取——比如——3试试看啊！（3^2）-1就不是素数。
梅秋月真的诶。那这件事有严格的证明么？
林乌山嗯……不知道啊。这个问题就留给读者们，当做思考题吧～！
林乌山——好的，
梅秋月本章，
完！
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