有理数

以下是对有理数相关详细知识点的总结：

一、有理数的基本概念

正数与负数：

定义大于 0 的数为正数，正数前加“-”号变为负数，0 既非正数也非负数。

应用用于表示具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、零上与零下等。例如，体重增加 2 千克记为 +2 千克，减少 1 千克记为 -1 千克。

有理数：

组成整数和分数统称有理数。

细分整数包括正整数（如 1、2、3…）、0、负整数（如 -1、-2、-3…）；分数包括正分数（如½、¾…）和负分数（如-⅔、-}⅚…）。有限小数和无限循环小数可化为分数，也属于有理数。

数轴：

构成要素规定了原点（表示 0 的点）、正方向（通常向右为正）、单位长度的直线。

作用任何有理数都能在数轴上找到对应的点表示；借助数轴可直观比较有理数大小，右边的数总比左边的大。例如，-1.5 在数轴上位于 -1 的左边，所以 -1.5 < -1。

相反数：

定义只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。若 a 为有理数，则其相反数是 -a。

性质互为相反数的两数和为 0，即若 a、b 互为相反数，则 a + b = 0；反之，若 a + b = 0，则 a、b 互为相反数。

绝对值：

定义数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作|a|。

性质正数的绝对值是它本身（若 a＞0，则|a| = a）；负数的绝对值是它的相反数（若 a＜0，则|a| = -a）；0 的绝对值是 0（若 a = 0，则|a| = 0）。绝对值具有非负性，即|a|≥0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小，如|-5|＞|-3|，则 -5 < -3。

二、有理数的运算

加法法则：

同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加。例如，(+3)+(+5)= +(3 + 5)=8，(-3)+(-5)= -(3 + 5)= -8。

异号两数相加取绝对值较大的加数符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。例如，(-3)+5 = +(5 - 3)=2，3+( - 5)= -(5 - 3)= -2。

互为相反数的两数相加得 0，如 3+( - 3)=0。

一个数同 0 相加，仍得这个数，如 0 + 7 = 7。

减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。例如，8 - 3 = 8 + (-3)=5，5 - 8 = 5 + (-8)= -3。

乘法法则：

- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如，3×5 = 15，(-3)×(-5)=15，(-3)×5 = -15，3×(-5)= -15。

- 任何数同 0 相乘，都得 0，如 0×(-7)=0。

除法法则：

- 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b = a×\frac{1}{b}（b≠0）。

- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。例如，6÷3 = 2，(-6)÷(-3)=2，(-6)÷3 = -2，6÷(-3)= -2。

- 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0，如 0÷5 = 0。

乘方：

定义求 n 个相同因数的积的运算，记作a^n，其中 a 是底数，n 是指数，乘方结果叫幂。

性质负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。如(-2)^3 = (-2)×(-2)×(-2)= - 8，(-2)^2 = (-2)×(-2)= 4，2^3 = 2×2×2 = 8。

科学记数法把一个大于 10 的数表示成a×10^n的形式（其中1≤|a|＜10，n 是正整数，n 等于原数的整数位数减 1）。例如，3450000 = 3.45×10^6。

混合运算顺序：

- 先算乘方，再算乘除，最后算加减。

- 如果有括号，先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行计算。

- 可运用运算律简化计算：

- 加法交换律：a + b = b + a，如3 + 5 = 5 + 3。

- 加法结合律：(a + b)+c = a+(b + c)，如(2 + 3)+5 = 2+(3 + 5)。

- 乘法交换律：ab = ba，如3×5 = 5×3。

- 乘法结合律：(ab)c = a(bc)，如(2×3)×5 = 2×(3×5)。

- 乘法分配律：a(b + c)=ab + ac，如2×(3 + 5)=2×3 + 2×5。