1.函数

极之限在放学后，手中紧握着笔和草稿纸，来到了与零小麒约定的地点——那条熟悉的巷子。这里曾是他们初次相遇的地方，而今天，零小麒将会在此教导他微积分。夕阳的余晖洒在地面上，映出两人即将交汇的身影。

极之限下午好，零小麒老师。

零小麒咳咳，叫我零小麒就行。

零小麒拿起笔，在墙上写下了“函数”两个字。

零小麒今天我们来学习函数，函数是微积分里最重要的一个概念之一，基本上所有的内容都是围绕函数展开的。

极之限函数……诶，我记得我学过函数，就是形如y=2x+1之类的式子吧。初中就学过的东西，为什么还要在微积分里再讲一次？

零小麒点了点头，又摇了摇头。

零小麒嗯，对，但不全对。

极之限嗯？

零小麒初中所学习的函数都是能用式子表达出来的，不过很多有意义的函数都难以使用式子表示出来。比如说我弟弟最近几个月的体重所形成的函数。

说着，零小麒就在墙上画出了一个平面直角坐标系和一条曲线。

可极之限左看右看，始终不明白这种毫无规律的曲线怎么能和自己脑海中那种有规律的函数扯上关联。

极之限这……这是函数？

零小麒嗯。

极之限和我印象中的函数都是能通过某种规则从x算出y，但这个……

零小麒我能理解你的心情，你之所以会有这种想法，是因为在你初中学习函数的过程中，把函数的印象固化了：以为所有的函数都有特定的解析式，并且都能通过解析式从x计算出y。不过真实情况并不是这样的。

接着零小麒又画出了一条曲线，不过这次，他给出了解析式：

零小麒看到这个解析式，你想到了什么？

极之限嗯……让x随便取什么值，都能通过将其平方的方式得到y。

零小麒是的，这就是你们初中所学的函数——给出了具体的解析式。不过，这条有规律的曲线和刚刚那条没规律的曲线是有共同点的。

极之限？

零小麒看：

零小麒说着，在x轴上取了一点（0,1），接着过(0,1)做直线l垂直于x轴，与y=x^2的图像交于点P，过点P再做直线m垂直于y轴，与y轴交于(1,0)。

零小麒你想到了什么？

极之限嗯……当x=1时，函数值y就等于1。

零小麒对，还有吗？

极之限？还有？

零小麒你看哈，当x等于1时，y等于一的平方。换个角度思考，这不就是将一和一的平方对应起来了吗？同样的，如果我们列x取任意数值m，那么y也就等于m的平方。这也就是加m与m的平方进行了对应。这对于任何一个函数来说都是成立的，所以函数它并不是解析式，而是一种对应关系。

这段话颠覆了极之限对于函数的认知，零小麒接着说：

零小麒接下来我们来看看，刚刚我提出的那条曲线：

零小麒

零小麒这时候，我们就可以将这条曲线描述为y=f(x)，其中f为function的缩写，其直译过来为“功能”的意思，意思是x通过某种功能得到了y。实际上只要你愿意，写成任意字母都可以。

极之限我懂了，谢谢零小麒老师！

零小麒都说了，叫我零小麒就好。

上完课后，两人就回到各自的家中了。

（第一章完）