第九集 平面几何与立体几何（一）

宝宝巴士之奇妙数学大冒险2 第九集：平面几何与立体几何（一）

阳光暖暖地洒在奇妙森林，奇奇、妙妙和小动物们在草地上嬉笑玩耍。奇奇的左脚脚踝已经好得差不多了，虽然走路还有点一瘸一拐，但他还是开心地和大家一起玩着游戏。

突然，天空中乌云滚滚，大魔王那令人毛骨悚然的笑声传来：“哈哈，小家伙们，上次的失败只是个意外，这次我带来了更难的挑战——平面几何与立体几何！准备好被难倒吧！”

小动物们瞬间紧张起来，迅速围到奇奇和妙妙身边。奇奇的脸色变得凝重，他下意识地动了动左脚，心中默默祈祷不要在关键时刻掉链子。

奇奇（皱着眉头，小声对壮壮说）：壮壮，快把纸和笔递给我，这次的挑战肯定不简单。

壮壮（一脸担忧地递上纸笔）：奇奇，你脚还没好全呢，能行吗？

奇奇（坚定地点点头）：放心，我可以的。有大家一起，没什么困难能难倒我们。

大魔王（挥舞着魔法棒，得意地大笑）：先给你们一道开胃小菜！如图，在三角形ABC中，AB = AC，AD⊥BC ，垂足为D，求证：BD = CD 。（天空中出现一个巨大的三角形图案，清晰地标注着各个点和线段）

小动物们仰望着天空中的图形，一脸迷茫，交头接耳起来。

兔一一（着急地蹦蹦跳跳）：这要怎么证明呀，完全没有头绪。

奇奇（坐在椅子上，在纸上认真地画着辅助线，边画边说）：因为AB = AC ，AD⊥BC ，根据等腰三角形三线合一的性质，AD既是顶角∠BAC的平分线，又是底边BC上的高和中线 ，所以BD = CD 。证明过程如下：

∵AB = AC ，AD⊥BC （已知）

∴BD = CD （等腰三角形三线合一）

大魔王（脸色微微一变，但很快又恢复了嚣张）：哼，别得意，这只是最简单的。下一题！已知平行四边形ABCD ，AE⊥BC 于E，CF⊥AD 于F，求证：AE = CF 。（随着大魔王的话语，一个平行四边形出现在天空中，还有两条垂直的线段）

企鹅小福（小声嘟囔）：平行四边形的知识我都快忘光了，这可怎么办。

妙妙（看着奇奇，鼓励道）：奇奇，你一定能行的，我们一起想想。

奇奇（沉思片刻，开始在纸上书写证明过程）：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC ，AD = BC ，又因为AE⊥BC ，CF⊥AD ，所以∠AEB = ∠CFD = 90° ，而且∠B = ∠D （平行四边形对角相等） ，所以三角形ABE≌三角形CDF （AAS） ，所以AE = CF 。证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC ，AD = BC ，∠B = ∠D

∵AE⊥BC ，CF⊥AD

∴∠AEB = ∠CFD = 90°

在三角形ABE和三角形CDF中

∠AEB = ∠CFD ，∠B = ∠D ，AB = CD

∴三角形ABE≌三角形CDF （AAS）

∴AE = CF

大魔王（气得吹胡子瞪眼）：看来是我小瞧你们了，不过真正的难题才刚刚开始！一个正方体，棱长为a，求它的表面积和体积。（一个正方体的立体图形悬浮在空中）

猴子点点（抓耳挠腮）：这立体图形看着就头疼，怎么求呀。

奇奇（深吸一口气，强忍着左脚传来的隐隐作痛）：正方体的表面积公式是6倍的一个面的面积，一个面的面积是棱长乘棱长，所以表面积S = 6a² ；体积公式是棱长的立方，所以体积V = a³ 。

S = 6×a×a = 6a²

V = a×a×a = a³

大魔王（恼羞成怒，疯狂地咆哮）：别高兴得太早！一个圆锥，底面半径为r，高为h，求它的体积。（一个圆锥图形出现，还标注着半径和高）

奇奇刚要起身去拿放在旁边的书查阅公式，左脚突然一阵剧痛，他一下子摔倒在地。

大魔王（见状，疯狂地大笑起来）：哈哈哈哈，看你还怎么解题，这下知道我的厉害了吧！

妙妙（愤怒地瞪着大魔王）：大魔王，你太过分了！奇奇，你怎么样？

妙妙和壮壮赶紧跑过去，把奇奇扶到椅子上。

奇奇（咬着牙，脸色苍白）：我没事，妙妙，你帮我想想圆锥体积公式是不是V = 1/3πr²h 。

妙妙（认真地点点头）：是的，奇奇。我来帮你写证明过程。因为圆锥体积公式是V = 1/3Sh （S是底面积，h是高） ，而圆锥底面是圆，圆的面积S = πr² ，所以圆锥体积V = 1/3πr²h 。

V = 1/3×πr²×h = 1/3πr²h

大魔王（眼睛瞪得大大的，不敢相信）：不！这不可能，你们怎么可能这么厉害，我还有更难的！一个圆柱，底面半径为R，高为H，里面装了一半的水，把一个底面半径为r，高为h的圆锥完全浸没在水中，水面上升了多少？（一个装了一半水的圆柱和一个圆锥的图形出现）

奇奇（擦了擦额头的冷汗，思考片刻后说）：我们先分别求出圆锥的体积和圆柱的底面积，圆锥体积V锥 = 1/3πr²h ，圆柱底面积S柱 = πR² ，水面上升的高度就等于圆锥的体积除以圆柱的底面积 ，即h升 = V锥÷S柱 = （1/3πr²h）÷（πR²） = r²h/（3R²） 。

V锥 = 1/3πr²h

S柱 = πR²

h升 = V锥÷S柱 = （1/3πr²h）÷（πR²） = r²h/（3R²）

大魔王（彻底崩溃，声音颤抖地尖叫）：不……这不是真的，你们这群小家伙怎么可能破解我所有的难题！

还没等大魔王说完，他的魔法再次被破解，化作一团黑烟消失不见了。

小动物们欢呼雀跃，纷纷围到奇奇身边。

嘟嘟（飞过来，开心地鼓掌）：你们太棒啦！又一次战胜了大魔王，不管是平面几何还是立体几何，都难不倒你们！

奇奇（欣慰地笑了笑）：这都是大家的功劳，谢谢大家一直陪着我，支持我。

妙妙（笑着说）：对呀，我们是一个团队，只要团结一心，就没有克服不了的困难。

奇奇（坚定地看着大家）：等我脚完全好了，我们继续去探索更多的数学奥秘，迎接更多的挑战！

奇妙森林又恢复了往日的欢乐，阳光更加灿烂地照耀着大地，奇奇、妙妙和小动物们的数学冒险之旅，仍在继续……