数列初战

青岩书院的秋雨裹着寒气渗进杂役房的砖缝，苏明夏蜷缩在发霉的草堆上，怀中紧抱着边角磨破的《必修一札记》。三天前她在藏书阁禁地发现这本布满符咒的古籍，扉页用血写着：算理即灵力，公式化神通。可试了无数次，那些印在纸上的数列知识，依旧只是晦涩难懂的文字。

“还在装模作样？”木门被踹开，林青烟踩着满地积水走进来，她腰间的“必修二”灵牌泛着冷光，身后跟着几个嬉皮笑脸的弟子，“杂役也想学灵算？不如把这些破书当柴火烧了！”

话音未落，林青烟指尖凝出一道算式光刃，空气中浮现出三道闪烁的数列题目：

1. 已知有个数列，后一个数总是等于前一个数的两倍再加上三，并且第一个数是一，求这个数列通用的表达式。

2. 在一个等差数列里，第三项的数值是七，第五项和第七项的数值加起来等于二十六，算出这个数列每一项的规律。

3. 在一个等比数列中，第一项和第三项的数值总和是十，第四项和第六项的数值加起来等于四分之五，推导出这个数列的通项公式。

“解不出这三道题，今晚就去后山喂蛇！”光刃裹挟着灵力呼啸而来，苏明夏后背重重撞上潮湿的墙壁。怀中的古籍突然发烫，泛黄的纸页无风自动，一行金色文字浮现在她眼前：构造新的等比数列。她咬牙咬破舌尖，将精血滴在书页上，颤抖着在空中比划解题思路。

“第一题！假设后一个数加上某个数，等于前一个数加上这个数的两倍！”苏明夏声音发颤，却字字清晰，“把假设的式子展开，会发现这个数是三！”随着她的动作，空气中浮现出金色的推导过程，“那么，用原来数列的每个数都加上三，就能得到一个新数列，这个新数列是以四为首项，二为公比的等比数列！根据等比数列通用公式，就能算出原来数列的第n项是二的n加一次方，再减去三！”

第一道题目轰然碎裂，光刃的攻势被抵消大半。林青烟瞳孔骤缩，厉喝：“继续！”

苏明夏顾不上擦汗，转向第二题：“等差数列的每一项都可以用首项加上项数减一的差，再乘以公差来表示！”她在空中画出两个方程：第一个方程是首项加上两倍的公差等于七，第二个方程是首项加上四倍的公差，再加上首项加上六倍的公差等于二十六。“把第二个方程化简，得到两倍的首项加上十倍的公差等于二十六，再和第一个方程一起计算……”

陈小雨不知何时挤到人群中，突然大喊：“用消元法！把第一个方程两边都乘以二，再和第二个方程相减！”在好友的提示下，苏明夏飞速运算：“两个方程相减后，得到六倍的公差等于十二，所以公差是二！再代入第一个方程，算出首项是三！这个数列的第n项就是三加上二乘以项数减一的差，最后得到二n加一！”

第二道光刃也应声消散。林小瑶突然从窗口翻进来，塞给苏明夏半块干粮：“最后一题用等比数列通用公式！首项乘以公比的n减一次方！”

苏明夏接住干粮却没吃，盯着第三题：“第一个方程是首项加上首项乘以公比的平方等于十，第二个方程是首项乘以公比的三次方，加上首项乘以公比的五次方等于四分之五……”她突然将两个方程相除，“相除后得到公比的三次方等于八分之一，所以公比是二分之一！代入第一个方程——”她的手指因为过度用力而发白，“算出首项是八，第n项就是八乘以二分之一的n减一次方，也就是二的四减n次方！”

三道题目同时炸裂，金色的文字碎片组成屏障，将林青烟的攻击彻底反弹。苏明夏感觉体内有热流涌动，腰间的“未入阶”徽章泛起微光，“必修一”三个金字缓缓浮现。林青烟脸色铁青，甩袖离去：“别以为侥幸赢一次就能翻身！”

等众人散去，陈小雨捡起地上的《必修一札记》：“明夏，你发现了吗？这些题目和书中记载的‘灵力共鸣条件’完全吻合！”林小瑶晃着手里的辅助线尺：“下次再遇到刁难，我们三个一起算！看谁还敢欺负杂役！”

苏明夏望着窗外渐暗的天色，握紧发烫的徽章。在这个用数学丈量力量的世界里，她终于找到了属于自己的修行之路，而前方，还有无数由数字与公式构建的挑战在等待着她。

数学小课堂

1. 等差数列：数列中后一项与前一项的差值始终相等，这个固定差值叫“公差”。通项公式为“第n项 = 首项 +（项数n - 1）×公差”，如文中第二题，通过联立方程求出首项和公差，就能得到数列每一项的表达式。

2. 等比数列：后一项与前一项的比值固定不变，该比值称为“公比” 。通项公式是“第n项 = 首项×公比的（n - 1）次方”，像第三题，利用两项之间的关系求出公比和首项，进而得出通项公式。

3. 数列通项公式推导技巧：当遇到复杂递推关系（如第一题），可尝试构造新数列，将其转化为熟悉的等差或等比数列；解方程组时，消元法是常用手段，通过消除某个未知数简化计算。

实战应用题

已知一个等差数列，第4项是10，第7项是19，你能算出它的首项和公差，并且写出通项公式吗？如果是一个等比数列，第2项是6，第5项是48，你又该如何求出公比、首项以及通项公式呢？快来运用文中的方法试试看吧！