高一数学

高中数学必修一必备知识

【集合与常用逻辑用语】

1、一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

3、如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A 。

4、数学中一些常用的数集及其记法

数学中一些常用的数集及其记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；

全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合称为实数集，记作R。

5、把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。

6、一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{ x∈A | P(x) } ，这种表示集合的方法称为描述法。

7、一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A ），读作“A包含于B”（或“B包含于A” ）。

8、一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A = B。也就是说，若A⊆B且B⊆A ，则A = B。

9、一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅ ，并规定：空集是任何集合的子集。

10、如果集合A⊆B ，但存在元素x∈B ，且x∉A ，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A ）。

如果∀x₁，x₂∈D，当x₁ < x₂时，都有f(x₁) > f(x₂) ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。

6、一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1) ∀x∈I ，都有f(x) ≤ M；(2) ∃x₀∈I ，使得f(x₀) = M 。

那么，我们称M是函数y = f(x)的最大值。

7、一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I ，都有 -x∈I ，且f(-x) = f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数。

8、一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I ，都有 -x∈I ，且f(-x) = -f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。

表格

奇函数 偶函数

图像  

对称性 关于原点对称 关于y轴对称

性质 若定义域有0，则f(0) = 0； f(x) + f(-x) = 0 若定义域有0，则f(0)是极大值或极小值； f(x) = f(-x)

增减性 如果在(-∞, 0)单调递增，则在(-∞, +∞)上递增；同理，在(-∞, 0)单调递减，则在(-∞, +∞)上递减。 在定义域内不可能是单调函数

9、在定义域允许的情况下，

当f(x)，g(x)都是偶函数，则f(x)g(x)是偶函数；

当f(x)，g(x)都是奇函数，则f(x)g(x)是偶函数；

当f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)g(x)是奇函数。

10、一般地，函数y = xᵅ叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。对于幂函数，我们只研究α = 1，2，3，-1时的图像与性质。

图像 过原点直线型图像 开口向上抛物线型图像 过原点曲线型图像 右半部分曲线型图像（起始于原点） 双曲型图像（分布于一、三象限）

定义域 R R R [0, +∞ ) (-∞, 0) ∪ (0, +∞ )

值域 R [0, +∞ ) R [0, +∞ ) (-∞, 0) ∪ (0, +∞ )

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 (-∞, 0)减 (0, +∞ )增 增 增 (-∞, 0)减 (0, +∞ )减