一、集合与常用逻辑用语
1. 集合基本概念
- 元素与集合的关系：属于（∈）、不属于（∉）。
- 常用数集：自然数集（N）、正整数集（N*或N+）、整数集（Z）、有理数集（Q）、实数集（R）。
- 集合表示方法：列举法（如{1,2,3}）、描述法（如{x|x>0}）。
2. 集合间关系
- 子集：A⊆B（A中元素均在B中）；空集（∅）是任何集合的子集。
- 真子集：A⫋B（A⊆B且B中存在A没有的元素）。
- 相等：A=B（A⊆B且B⊆A）。
二、函数的概念与性质
1. 函数定义
- 设A、B是非空数集，对A中任意x，B中唯一y与之对应，记作y=f(x)，x∈A（定义域），y的取值范围为值域。
2. 函数性质
- 单调性：
- 增函数：x₁<x₂时，f(x₁)<f(x₂)；减函数：x₁<x₂时，f(x₁)>f(x₂)。
- 最值：
- 最大值M：对定义域内所有x，f(x)≤M，且存在x₀使f(x₀)=M（最小值类似）。
- 奇偶性：
- 奇函数：f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称（若定义域含0，则f(0)=0）。
- 偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称。
三、基本初等函数
1. 幂函数
- 形式：y=xᵅ（α为常数），重点研究α=1,2,3,1/2,-1时的图像与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）。
- 共性：都过点(1,1)；在(0,+∞)上，α>0时递增，α<0时递减（部分情况例外）。
2. 指数函数
- 形式：y=aˣ（a>0且a≠1），定义域R，值域(0,+∞)。
- 性质：a>1时递增，0<a<1时递减；过点(0,1)。
3. 对数函数
- 形式：y=logₐx（a>0且a≠1），定义域(0,+∞)，值域R，是指数函数的反函数。
- 性质：a>1时递增，0<a<1时递减；过点(1,0)。
- 运算法则：logₐ(MN)=logₐM+logₐN；logₐ(M/N)=logₐM-logₐN；logₐMⁿ=nlogₐM。
四、函数的应用
1. 函数与方程
- 零点：函数f(x)的零点即方程f(x)=0的实数根，也是函数图像与x轴交点的横坐标。
- 零点存在定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则(a,b)内存在零点。
2. 函数模型
- 常见模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模型，用于解决实际问题（如增长、最值问题）。
以上知识点覆盖高一数学核心内容，需结合具体例题理解和应用。
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