数学

1.2 常用逻辑用语

一、充分条件与必要条件

1. 两种语序（以充分不必要条件为例）

①p是q的充分不必要条件（正常语序）

②q的充分不必要条件是p

2. 等价关系

①p是q的充分条件等价于q是p的必要条件

②p不是q的充分条件等价于q不是p的必要条件

③p是q的必要不充分条件等价于q是p的充分不必要条件

3. 推导关系

①若p\Rightarrow q且q\nRightarrow p，则p是q的充分不必要条件

②若p\nRightarrow q且q\Rightarrow p，则p是q的必要不充分条件

③若p\Leftrightarrow q且q\Leftrightarrow p，则p是q的充分必要条件

④若p\nRightarrow q且q\nRightarrow p，则p是q的既不充分又不必要条件

4. 大小关系（设p，q包含的对象分别组成集合A，B）

①若A\subseteq B，则p是q的充分条件

②若B\subseteq A，则p是q的必要条件

③若A\subsetneqq B，则p是q的充分不必要条件

④若B\subsetneqq A，则p是q的必要不充分条件

⑤若A = B，则p是q的充要条件

二、全称量词与存在量词

1. 全称量词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给等，用\forall表示

全称命题p：\forall x \in M，P(x)。它的否定\neg p：\exists x_0 \in M，\neg P(x_0)。全称命题的否定是特称命题！

2. 存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等，用\exists表示

特称命题p：\exists x_0 \in M，P(x_0)。它的否定\neg p：\forall x \in M，\neg P(x)。特称命题的否定是全称命题！