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第四章:解题

不可证伪

六点整,生物钟准点将江陷从并不算沉的睡眠中拽醒。

  不是闹钟,而是一缕若有若无、却极其勾人食欲的香气,丝丝缕缕地从门缝里钻进来。

  是粥的暖香,混着一点煎蛋的焦脆气味。

  不用问,肯定是楚阿姨。

  他昨晚睡的江先生的床,床垫偏硬,枕头也带着不属于自己的高度和气息——那是吴女士某次心血来潮买的昂贵男士香水,据她说极有格调,味道清冽又沉稳,但江陷只觉得陌生,扰得他半宿没睡踏实。

  他揉着有些发酸的脖颈起身,马马虎虎地洗漱。

  厨房里传来轻微的、有条不紊的叮当声,是瓷器和锅铲碰撞的动静,并不吵闹,反而有种奇异的安定感。

  推开房门,香气更浓郁了。

  楚阿姨系着围裙,正将煎得恰到好处的火腿蛋从平底锅滑进白瓷盘里。餐桌上已经摆好了晶莹粘稠的皮蛋瘦肉粥、切得整齐的火腿三明治和一碟颜色鲜亮的蔬菜沙拉。

  “阿姨,早。”江陷声音还带着刚醒的沙哑,“您起这么早?这些……太麻烦您了。”

  楚阿姨闻声回头,脸上是温暖的笑意,不见丝毫勉强:“早啊小陷。我习惯了,年纪大了觉少,躺着也是躺着,找点事情做反而舒服。”她语气自然,一边说着一边利落地将煎锅冲洗干净,“正好也试试你家厨房的灶火,用着挺顺手。快去坐着,马上就好。”

  江陷点点头,没再多说客套话。

  他刚拉开椅子,原本属于他的卧室房门也开了。

  纪擎走了出来。

  他依旧穿着那身黑卫衣,头发似乎比昨晚更乱些,眼下带着淡淡的青黑,整个人透着一股没睡醒的蔫儿气,神色泱泱的。

  他看也没看餐桌这边,径直走到冰箱前,打开,拿出一盒冰牛奶,拧开盖子就要对着喝。

  “阿擎。”,楚阿姨的声音温和却带着不容置疑的力度,“倒杯子里,慢慢喝。早上空腹喝冰的对胃不好。”

  纪擎动作顿住,眉头几不可见地蹙了一下,像是被打扰了的不耐,但并没有更激烈的反应。

  他沉默地放下牛奶盒,找出玻璃杯,倒了小半杯,然后才仰头喝了一大口,整个过程依旧沉默,但算不上抗拒或甩脸色,更像是一种习惯性的、懒得多言的顺从。

  楚阿姨无奈地笑着摇摇头,对江陷道:“这孩子,从小习惯就不好,说了多少次也改不过来。”

  江陷看着纪擎沉默的侧影,没接话。

  他觉得这大概不全是习惯问题,可能只是单纯地——不在乎。

  话说……直接喝冰箱里的冷牛奶,或是把冷牛奶倒进杯子里喝,不都是冷牛奶……这有什么差?

  早饭过后,江陷帮忙收拾了碗筷。

  楚阿姨本想阻拦,但见他动作利落,也就笑着道了谢,没再过多客套。

  回到自己房间——纪擎大概是去买东西了,还没回来。

  江陷瞥了一眼书桌上那本几乎崭新的《数学奥林匹克小丛书·组合卷》。

  上次买来就扔那儿吃灰了,反正现在闲着也是闲着,不如随便翻翻。

  他随手翻开一页,一道组合极值问题跳入眼帘:

  设S是平面上的一个有限点集,其中任意三点不共线。

  对于S的一个划分(S₁, S₂),定义其权重为跨越划分的两部分点的最小距离。求所有可能划分中权重的最大值。

  典型的组合极值构造题,需要精巧的思维和严密的论证。

  江陷来了点兴趣,抽出草稿纸,开始勾勒点集分布的可能形态。

  他尝试了几种常规的构造思路:凸包分割、重心划分、甚至用上了Delaunay三角剖分的概念,但得到的下界总是不够紧,证明上也存在漏洞。

  他卡在了如何确保无论点集如何分布,总能找到一个划分使其跨越距离足够大,并且这个下界是无法被超越的。

  他沉浸其中,指尖无意识地转着笔,眉心微蹙,完全忽略了时间。

  突然——

  “嗡——!!!”

  一阵尖锐刺耳的电钻声毫无预兆地炸响,仿佛就在耳边轰鸣,瞬间撕裂了房间里的静谧思考!

  江陷被惊得笔尖一顿,在草稿纸上划出一道长长的痕迹。烦躁感瞬间涌了上来。他深吸一口气,勉强压下火气,走到窗边向外看去。

  果然是隔壁那栋空置已久的房子。

  几个装修工人正忙碌着,电钻声、敲打声不绝于耳。他这才恍然想起,楚阿姨一家就是因为装修才暂住过来的。

  这噪音显然不是一时半会儿能停的。

  他郁闷地关紧窗户,但隔音效果一般,沉闷的噪音依旧顽固地钻进来,持续不断地干扰着他的神经。

  他在房间里踱了两步,最终还是决定先去倒杯水,暂时远离这题和这噪音。

  几分钟后,他端着水杯回来,目光下意识地落回书桌。

  下一秒,他愣住了。

  草稿纸上,在他刚才划出的那道痕迹旁边,多出了一行行陌生的演算笔记。

  字迹锐利,笔画带着一种近乎刻板的棱角,显得很有力度,但整体排版却有些大小不一,甚至略微歪斜,透着一股不拘小节或者说……不耐烦的潦草。

  而正是这些字迹,清晰地写下了一个他未曾想到的巧妙构造方法:

  【构造】取点集S的凸包,设其顶点按顺序为v₁, v₂, ..., vₘ。考虑凸包内部点,利用其与凸包顶点的相对位置关系进行归类,并巧妙利用Ham-Sandwich定理的离散近似思想,将点集分为两类,使得无论点集如何分布,总能保证...

  后续跟随着简洁的证明步骤,逻辑清晰直指核心,恰好弥补了他之前思路的漏洞,并且得到了一个更优的下界估计。

  电钻声还在嗡嗡作响。

  江陷却仿佛听不到了。

  他盯着那页纸,手指无意识地捏紧了杯壁。

  谁进来过?

  答案几乎瞬间浮现在脑海——除了那个悄无声息、存在感极低、此刻正暂住在他房间里的纪擎,不会有别人。

  他什么时候进来的?看了多久?又为什么……要解这道题?

  江陷盯着那力透纸背却又略显凌乱的字迹,心底那点因被打断而升起的烦躁悄然褪去,转而泛起一丝微妙的兴味。

  这道组合极值题,出自IMO级别的训练题库,难度绝非普通高中生能轻易触碰。

  其难点不仅在于几何直观,更在于需要融汇组合数学的精巧思维和高级几何定理的灵活运用,考验的是解题者的天赋和深厚的训练功底。

  他自己在这方面不算顶尖,需要费些心神才能啃下。

  但纪擎这解法,思路清晰刁钻,构造巧妙,证明步骤虽简略却直击要害,明显是对这类题型极为熟稔,信手拈来。

  想不到,这看起来阴郁沉闷、拒人千里之外的纪狗子,还是个深藏不露的高手。

  “你在嘟囔什么?”

  一道略显低哑、带着刚睡醒不久慵懒感的声音突然自身后极近的地方响起。

  江陷惊得肩头微微一颤,猛地回头。

  纪擎不知何时悄无声息地站在了他背后,依旧穿着那身黑卫衣,头发乱翘,眼神半耷拉着,没什么精神的样子,像只还没完全清醒的狗子。

  他站得有些近,江陷甚至能隐约闻到他身上淡淡的、和自己房间里一样的洗衣液味道。

  这家伙走路都没声的吗?

  “……没什么,”江陷按捺下瞬间加快的心跳,语气尽量恢复平淡,他指了指草稿纸,“看你解的题。写得……挺好的。”

  这话倒不是假话。

  抛开那有点惨不忍睹的字迹不谈,解题思路本身确实漂亮。

  或许是因为那道题的缘故,江陷难得对他生出了点探究的兴趣,也愿意多说两句。

  他顿了顿,抬眼看向纪擎,难得主动问了句:“你也搞竞赛?”

  纪擎的视线扫过草稿纸,又落回江陷脸上,那双总是半掩在刘海下的眼睛似乎睁开了一些,漆黑的瞳孔里没什么波澜。

  他只是极轻地哼了一声,像是鼻腔里发出的气音,含义不明。

  然后,他绕过江陷,径直走到书桌另一边,拿起那本被江陷随手扔在一旁的《数学奥林匹克小丛书·组合卷》,随手翻了两页,又意兴阑珊地扔了回去。

  “随便看看。”他开口,声音依旧没什么起伏,听不出情绪。

  说完,他没再看江陷,也没再看那道题,毫不客气的坐在江陷床上。

  江陷看着纪擎那副爱搭不理、甚至有点逐客意味的态度,心里那点刚冒头的兴趣瞬间冷却了大半。

  他本来也不是什么热络的人,更没兴趣拿热脸去贴冷屁股。

  既然对方明确表示不想交流,那他也没必要杵在这儿碍眼。

  他没什么表情地开始收拾摊在书桌上的《数学奥林匹克小丛书》和写满演算的草稿纸,连同笔袋一起拿在手里。

  视线扫过那张被纪擎写了解答的纸时,动作几不可查地顿了一下,但还是将其整齐地夹回了书里。

  这房间现在名义上是纪擎在住,书桌也就那么大,两个人挤着确实尴尬。

  与其在这儿互相别扭,不如换个地方。

  他拿着东西,一言不发地从纪擎身边走过,径直出了房门,脚步没有半点犹豫。

  “啧,”纪擎看着江陷干脆利落离开的背影,极轻地咂了下舌,眉头几不可见地蹙起,心里莫名有点说不清的烦躁。

  他写完那个解答后,心里确实有点异样的波动。

  看到难题的手痒,以及一种隐约的、想要切磋一下的冲动,是那种遇到同类时下意识的反应。

  他以为江陷能懂。

  可话到嘴边,不知道为什么就变成了那样。

  他甚至能回想起妈妈平时温柔得体、让人如沐春风的交流方式,但那些技巧到了他这里,就像隔了一层厚厚的玻璃,看得见,却模仿不来,硬要学只怕显得怪异和尴尬。

  沉默了片刻,他有些懊丧地抓了抓头发,最终还是摸出手机,手指在屏幕上悬停了一会儿,然后略显笨拙地在搜索引擎里输入:

  「怎么和陌生人交流数学问题」

  「如何自然地向别人请教题目」

  「怎么表达想讨论问题的意思不显得突兀」

  网页上弹出各种社交技巧和话术建议,他看着那些“微笑倾听”、“寻找共同兴趣”、“真诚赞美”的字眼,眉头越皱越紧,感觉比解刚才那道数学题还要难上百倍。

  这都什么跟什么……

  纪擎烦躁地删掉了搜索记录,把手机扔到一边,目光不由自主地飘向门外。走廊里安安静静,早已没了江陷的身影。

  与此同时,江陷已经回到了江先生的房间。

  他把书和笔袋在靠窗的书桌上摊开,房间隔音效果好得多,隔壁的电钻声也变得模糊而遥远。

  他重新翻开那本书,目光落在纪擎的解答上,手指无意识地敲着桌面。

  虽然对方态度冷淡得可以,但这题……解得确实漂亮。

  他拿起笔,开始沿着纪擎的思路重新演算和深化,试图完全吃透这种构造方法的精髓。

  窗外的阳光透过玻璃洒在纸页上,将两种截然不同的字迹照得清晰:一种力透纸背却略显凌乱,另一种清晰冷静而工整。

  江陷将心头那点因纪擎而起的小波澜压下,重新将注意力集中到书本上。老班虽说这次联赛侧重他擅长的领域,但多接触些其他类型的难题总没坏处,能拓宽思路。

  他很快翻到另一节,目光锁定一道数论函数方程的问题,题目不长,但条件抽象,将函数值、自变量以及整除关系巧妙耦合,需要极强的代数变形和数论直觉。

  江陷指尖点着题目,迅速进入状态。

  他尝试代入一些简单函数如线性函数、常数函数,发现要么不满足条件,要么只能得到平凡解,这需要更一般的分析方法,或许需要考察函数在质数或幂次上的性质,进而推导出某种结构。

  他沉浸其中,在草稿纸上写下一连串推导,试图将整除关系转化为等式或不等式约束,眉头微蹙,完全沉浸在逻辑的博弈中不知天地为何物了。

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