9.个人拙见：个人认为不错的自编题目

1. RtΔBOA中,∠A=90°,tan∠AOB=k,OA=a,过点B作BA1⊥OB,并过A1作OA的垂线交于OB，延长线上于B1.同理，对点A1与点B1重复此类操作，得到一系列点Ai,Bi(i=1,2....)

则当i=n时,表示OAn的长度(用k,a有关的式子表达出来)

解：以点O为平面直角坐标系原点,从而有A(a,0).并有y_OB=kx

令x=a,可以求得B(a,ak)

我们知道y_BA1⊥y_OB⇔k_BA1·k_OB=-1,(α)而直线BA1又过点B,从而解得

y_BA1=-(1/k)·x+a·(k²+1)/k

我们记y1=y_BA1,同理有y_i (i≥1)定义为从B_(i-1)到A_i的直线

下证y_n=-(1/k)x+a·(k²+1)ⁿ/k

当n=1时,已经证明

假设当n=s时，有y_s=-(1/k)x+a(k²+1)ˢ/k成立

只需证y_(s+1)=-(1/k)+a(k²+1)ˢ⁺¹/k

令y_s=0,得到与OA延长线上的一个坐标

A_s (a(k²+1)ˢ,0)

继而与OB延长线上的坐标为

B_s (a(k²+1)ˢ,a(k²+1)ˢ·k)

此时y_(s+1)过M,且同理(α)知k：y_(s+1)=-(1/k),设y_s+1的截距为b从而有：

-(1/k)·a(k²+1)ˢ+b=a(k²+1)ˢ·k

进一步解得

b=a(k²+1)ˢ·(k²+1)/k=a(k²+1)ˢ⁺¹/k

从而有

y_(s+1)=-(1/k)x+a(k²+1)ˢ⁺¹/k

证毕

于是y_n=-(1/k)x+a(k²+1)ⁿ/k

令y_n=0,从而求得OAn=a(k²+1)ⁿ

注意：这个解法我所采用的是解析几何加数学归纳法，不过这道题利用相似三角形或三角函数的方法也是可以做的，读者不妨试一试。