有理数

数0的认识，0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

0的意义不仅是表示“没有”，还可以表示其他意义。如0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度。

对于正数和负数，不能简单地理解为带“+”号的数是正数，带“一”号的数是负数，要看其本质是正还是负，如+（–3）不是正数，–（–2）也不是负数。正数前面的“+”可以写，也可以省略，而负数前面的“-”不可以省略。

0是最小的自然数，0是整数，也是偶数。

具有相反意义的量，引入负数以后，我们可以用正数和负数表示一些具有相反意义的量，在用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，当己知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示，反之，亦然。

具有相反意义的量表述，描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降，增加与减少，盈利与亏损，收入与支出等，另外还应有具体的数量，至于哪一个为正，通常看生活中的习惯用法或我们规定其中一个为正，与之相对的即为负。

有理数的定义，正整数，0，负整数统称为整数，正分数，负分数统称为分数。

整数和分数统称为有理数，正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。

整数可以看作分母为1的分数，无很循环小数可写成分数形式，所以是有理数。

所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的有理数组成有理数集合。

数轴是一条可以向两端无限廷伸的直线，数轴有三要素，原点，正方向和单位长度，三者缺不可。

有理数与数轴上的点的关系，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a个单位长度，表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

相反数的概念，像2和-2.5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

一般地，a和-a互为相反数，特别地0的相反数是0这里，a表示任意一个数，可以是正数，负数，也可以是0。

正整数，0，负整数统称为整数，正分数，负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数正数和0统称为非正数。

整数可以看作分母为1的分数，无限循环小数可写成分数形式，所以是有理数。所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的有理数组成有理数集合。

相反数的几何意义，互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等，反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。

相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数。

只有0的相反数是它本身，除0外互为相反数的两个数都是一正一负。

一个数的相反数的相反数是它本身。

若两个数互为相反数，则它们的和为0。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

相反数的性质，正数的相反数一定是负数，负数的相反数一定是正数，0的相反数仍是0。

绝对值的定义:一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

绝对值的几何意义，一个数的绝对值就是表示这个数红点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的跟离越近，绝对值越小。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，从而可知，正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个负数，绝对值大的反而小。

异号两数比较大小，要考虑它们的正负，同号两数比较大小，要考虑它们绝对值的大小。两个数的大小关系反映的是在数轴上的两个点的左右关系，两个数的绝对值的大小关系反映的是数轴上的两个点到原点距离的大小关系。

有理数的加法，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，关用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0，一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律交换加数的位置时，各加数这同其符号一起交换。

几个数相加，运用运算律可使运算简便，可任意交换加数位置，也可先先把其中的任意几个有理数相加。

将减法变为加法时，注意“两变”和一“不变”，“两变”即改变运算符号（减→加）和改变减数的性质符号（变为相反数），“一变”即被减数和减数的位置不能变换。两数相减，当被减数大于减数时，差为正数，当减数小于减数时，差为负数。

加减法统一成加法，减法可以转化成加法，所以加减混合运算可以统一为加法运算，如a-b+c-d=a(-b)+c+(-d)。在和武中，加号和括号可以省略，如–9+(–12)+(-3)+6可写成-9-12-3+6读作“负”9负12，负3正6的和”，也可以读作“负 减12减3加6”。

有理数的加减混合远算，有理数的加减法混合运算的实质加法运算。

有理数的加减混合运算的步骤，把加减混合运算统一成加法运算。写成省略加号，括号的各数和的形式，利用加法法则，加法交换律，加法结合律进行简便运算。

有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与0相乖，都得0。

不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘，先确定符号，再把绝对值相乘。当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应写为(-2)乘以(-3)。在进行乘法运算时，若有带分数要先转化为假分数形武，以便于约分。

定义:乖积是1的两个数互为倒数，即若ab=1，则a，b互为倒数，例如:-3与-3比1互为倒数，1的倒数是1，-1的倒数是-1。

倒数和相反数的区别是，符号不同:互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两个数符号相反(0除外)。和，积不同:互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1。0的区别:0的相反数是0，0没有倒数。